Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (4) : les lectures de Clairaut

Sébastien Le Clerc (1637 – 1714), Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain, avec un nouvel ordre et une méthode particulière, quay des Augustins, à l’image Nostre-Dame à Paris, 1682 (BnF). Comme sur chaque double page de ce très bel ouvrage, nous trouvons à gauche la proposition et sa pratique et à droite le tracé géométrique et une illustration. Ici, aux lignes parallèles et au tracé du compas répondent l’alignement des duellistes et le mouvement des fleurets.

Cet article fait partie d’une série de quatre dont il est le dernier. Il a été relu en séance IREM par Alain, Emmanuelle, Stéphane et Katalin comme les précédents :

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (1) : rencontre, hypothèses

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (2) : Clairaut en société

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (3) : la formation de Clairaut

Nous avons dit que l’ouvrage de Clairaut, Les Éléments de géométrie, n’était sans doute pas à proprement parler un manuel, de même que Clairaut n’était pas un professeur — il n’aura sans doute qu’une seule élève, la marquise du Châtelet à qui il apportera son assistance lorsqu’elle traduira les Principia de Newton. La question s’est posée de savoir où situer les Éléments de Clairaut au regard des traités d’ambition didactique du début du xviiie siècle. Nous savons peu de choses des ouvrages que Clairaut a pu lire, trois ou quatre titres tout au plus, nous ne connaissons pas les livres qui constituaient sa bibliothèque, mais nous pouvons nous en faire une idée à partir des influences que nous pouvons identifier dans Les Éléments de géométrie.

1. Des ouvrages de mathématiques pour Clairaut enfant

Nous connaissons quelques unes de ses lectures d’enfant — de ses lectures mathématiques, s’entend — à commencer par Euclide dans lequel il apprit à lire. Nous avons cité plus haut ce livre de mathématiques sur lequel Clairaut enfant, puis adolescent, aurait noté ses observations sur les deux éclipses de 1715 et 1724. Que les annotations se trouvent sur ce livre en particulier nous a fait penser qu’il s’agissait d’un livre particulièrement aimé, précieusement conservé. La Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain ou Par une méthode nouvelle & singulière l’on peut avec facilité & en peu de temps se perfectionner en cette science de Sébastien Leclerc[1], est abondamment illustré. Il comporte sur chaque double page, à gauche une notion (définitions, axiomes, propositions, méthode), et à droite une figure qui explicite les procédures à suivre, le tout sur 188 pages (donc 94 notions). A chaque figure géométrique, sur la page de droite donc, est associée une illustration figurative sans qu’il y ait de lien explicite entre les deux. Les définitions, axiomes et propositions tiennent tous sur une page (celle de gauche) : on peut donc imaginer que la « méthode particulière » annoncée par le titre de l’ouvrage soit d’ordre mnémotechnique par l’association de chaque proposition avec sa figure géométrique puis avec ce qui relève d’un jeu intellectuel — association d’une forme à une référence littéraire, un monument historique, un élément de décor classique, une scène de théâtre (les lignes courbes et les rondeurs du bambinqui fait des bulles de savon ou la courbe de la route qui mène à un château, le segment à tracer au-dessus des paysans partant pour le marché, le triangle et la religieuse sous son voile, les duellistes brandissant leur fleuret sous les arcs tracés au compas, sans parler de beaucoup de ruines antiques, de gentilshommes, brigands, reîtres et capucins…).

Le second livre cité par les biographes de Clairaut est celui de M. Guisnée dont la première édition date de 1705 et que Clairaut enfant aurait maîtrisé après trois lectures. Il se place directement à un niveau déjà avancé puisqu’il s’agit d’une Application de l’algèbre à la géométrie ou méthode de démontrer par l’algèbre les théorèmes de géométrie & d’en résoudre les problèmes. Sous ce titre est précisé « L’on y a joint une Introduction qui contient les Règles du Calcul algébrique » qui suppose que ses lecteurs pourraient avoir besoin d’une formation accélérée : il ne s’agit donc pas d’un ouvrage pour étudiants en année de philosophie, même si comme l’écrit Jean Baron dans son éloge de Clairaut de 1768[2], « à 9 ans l’Application de l’algèbre à la geométrie lui étoit familière ». Guisnée restera l’une des références de Clairaut au moment du voyage en Laponie[3] et peut-être encore à l’époque où il compose Les Éléments de géométrie. De même, « à 11 ans il entendoit les Sections coniques [Guillaume-François-Antoine de l’ Hospital, Traité analytique des sections coniques et de leur usage pour la résolution des équations, Paris, 1707] et l’Analyse des infiniment petits [l’Hospital, Analyse des infiniments petits, pour l’intelligence des lignes courbes, Paris, 1715] du M. de l’Hopital, avec lequel il eut plus d’un trait de ressemblance », écrit encore Jean Baron[4]. Mais au-delà des livres dont nous avons le titre, nous pouvons supposer d’autres qui ont pu figurer parmi ses lectures sans laisser pour autant de trace dans ses archives.

Une page ouverte de l’Application de l’algèbre à la géométrie de Guisnée, un ouvrage publié en 1705 (lu et maîtrisé par Clairaut enfant). Cet exemplaire porte dans ses marges de nombreuses annotations manuscrites, traces de la manière dont pouvait étudier un élève officier vers 1760 (date de l’ex-libris).

2. Divers traités destinés à l’enseignement

Nous avons vu dans notre seconde partie (p 11) qu’à l’époque de la formation de Clairaut, dans les collèges, la présentation du savoir mathématique obéissait moins à un impératif pédagogique qu’elle ne se conformait à la tradition académique telle qu’elle s’était progressivement établie[5]. Même si Clairaut n’a pas fréquenté de collège, il a pu lire quelques uns des traités utilisés dans différents collèges à Paris ou en province au début du xviiie.

A parcourir ces traités publiés entre 1680 à 1750 approximativement, à lire leurs préfaces et déclarations d’intention, il apparaît qu’il s’agit bien souvent, pour reprendre les mots mêmes de Clairaut, d’un enseignement qui « [débutait] toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d’axiomes et de principes préliminaires, [et] qui [semblait] ne rien promettre que de sec au lecteur »[6] dont il exige beaucoup. De ce fait, ils étaient sans doute davantage composés pour les maîtres que pour les étudiants, comme une base pour l’enseignement. Ils impliquaient que le lecteur qui achève ses années de collège soit accompagné dans sa lecture (à moins qu’il ne se contente de répéter et reproduire sans forcément acquérir plus qu’un vernis de connaissances). Au livre, l’étudiant pouvait associer l’aide d’un lecteur ou d’un préfet d’études pour venir à bout de ce qu’il voudrait pouvoir maîtriser.

Notons tout d’abord que les manuels proposés aux élèves étaient encore composés en latin au début du xviie siècle : le manuel de Pierre Hérigone, publié en 1632, a l’originalité d’offrir une édition bilingue comme le montre indirectement son titre, Cours de mathématique démonstré d’une nouvelle, briefve et claire méthode par notes réelles & universelles qui peuvent être entenduës sans l’usage d’aucune langue — ce qui sous-entend que le livre est adapté à ceux qui ne lisent pas le latin :tout le texte est présenté en deux colonnes, le latin à gauche, le français à droite, les figures étant centrées sur la page, et un lexique latin-français suivant l’introduction. A la fin du xviie siècle, le latin est abandonné pour le français, comme dans le traité du père Lamy (1640-1715), oratorien du collège d’Angers qui avait été celui de Malebranche : les Éléments des mathématiques ou Traité de la grandeur en général, dont la première édition date de 1680, sera largement utilisé en France jusque dans les années 1720. C’est encore le manuel qu’utilisera Rousseau vingt ans plus tard avec celui du père Reynaud (1656-1728), oratorien du collège d’Angers lui aussi, associé libre de l’Académie des sciences , L’Analyse démontrée ou la Méthode de résoudre les problèmes de mathématiques et d’apprendre facilement ces sciences[7]. Ces différents ouvrages des pères Lamy ou Reynaud comportent en première partie une succession de règles, en arithmétique et en géométrie puis en algèbre — avant de présenter une introduction à l’analyse cartésienne, affirmant le primat de l’algèbre et insistant sur la méthode[8]. Cependant ces livres ne sont ni l’un ni l’autre destinés à des débutants, et ce sont plus des traités que des textes à ambition didactique d’autre part.

Publié en 1704, Les Éléments de mathématiques de Pierre Polinière, médecin, physicien et futur membre de la Société des arts, l’un des premiers à diffuser en France les idées de Newton, se présente justement comme destiné, non aux seuls étudiants, mais à un public plus large, sans doute en partie celui du cours qu’il a ouvert à Paris peut-être en 1695 (ou en 1703). Il a la particularité de donner des conseils de méthode à ses lecteurs : ne pas lire « sans avoir la plume à la main & du papier » afin de s’exercer d’abord sur les exemples qu’il propose et ensuite, d’en inventer de semblables. Voici la notion d’invention qui apparaît.

Dans une perspective différente, avec le contemporain immédiat enfin de Clairaut, Dominique-François Rivard, qui fut le professeur et l’ami de Diderot, on se rapproche d’une réflexion sur ce que pourrait être une « éducation nationale », sujet qui naîtra dans les années 1750-60 dans le milieu des encyclopédistes. Le livre que Rivard publie en 1732, dix ans avant l’ouvrage de Clairaut, Éléments de géométrie avec un abrégé d’arithmétique et d’algèbre, est explicitement présenté comme ce que nous appellerions un manuel de cours, c’est-à-dire pour suivre plus facilement le cours de mathématiques dans les classes — plutôt que sur des cahiers « écrits peu correctement sur des matières embarrassantes » — et rendre ainsi « service » aux étudiants[9]. L’idée d’invention n’apparaît pas, l’objectif serait plutôt de permettre aux élèves des classes de philosophie d’accéder à une meilleure compréhension de la physique,  sachant que le temps à consacrer aux mathématiques tien en trois ou quatre mois sur l’année. Le terme d’abrégé qui figure dans le titre renvoie à l’idée d’une présentation synthétique des éléments, propre à faciliter l’apprentissage et à permettre la vulgarisation des connaissances[10], « le tout proportionné au besoin des étudiants de philosophie[11] », des « protomanuels » en quelque sorte à une époque où n’existe pas encore ce qui conditionne l’existence d’un type d’ouvrage qu’on puisse qualifier de manuel, à savoir « des classes recevant un enseignement commun (l’enseignement dit simultané), une structuration des contenus en disciplines autonomes, la possession par l’élève d’un livre »[12].

Cet ouvrage de Rivard, dont la visée est explicitement didactique, Clairaut ne le cite pas parmi les livres qu’il conseille à Bossut en 1751 alors que ce dernier se préparait à enseigner. Il revient en revanche sur Guisnée ou Reynaud et en ajoute quelques autres qui peuvent donc nous donner une idée à la fois de ses lectures et de la manière dont il perçoit leur usage (je souligne) :

Quant aux livres que vous avés à lire maintenant ils sont en petit nombre et pour la plupart mal faits. C’est un grand malheur pour la geometrie que les principes en soient si mal expliqués. Aux livres dont vous me parlés je joindrois l’application de l’algebre à la geometrie de Guisnée, les sections coniques du marquis de l’Hopital, l’analyse demontrée du P. Reynaud. Wolfius le premier est fort clair mais j’ai peur qu’il ne soit trop elementaire pour vous. Le 2[n]d est trop long et vous fatigueroit à lire d’un bout à l’autre vous pouvés vous contenter de quelques parties comme le 7e livre (La preparation qu’il donne à la geometrie de l’infini en expliquant la methode de Baron est fort claire et fort bonne si je m’en souviens bien c’est dans le 6eme livre). Le 10eme pour la construction des egalités, ou vous trouverés beaucoup mieux que dans l’abbé Deidier ce que vous cherchés sur la solution des equations qui passent le 4eme degré. Mais il faut pourtant vous avertir que vous ne serés jamais bien satisfait sur cette matiere qui est restée fort imparfaite. Quant à la theorie generale des équations que vous me paroissés aimer [pareillement] et quant à la theorie des courbes qui y est necessairement liée [je] crois que vous ne pouvés pas mieux faire que de lire un ouvrage fort nouveau de M[onsieu]r Cramer de Geneve, et que vous aurés sans doute beaucoup plus facilement chés vous que partout ailleurs à cause du voisinage. Voila Monsieur tout ce que je sais pour le present de plus propre à vous servir dans la carriere que vous entreprenés[13].

Rappelons cependant que nous avons suggéré plus haut que Les Éléments de géométrie de Clairaut étaient à mettre en relation par bien des aspects avec les ouvrages de géométrie pratique et les méthodes utilisés pour la formation des ingénieurs ou des militaires depuis le xvie siècle [14] : par le lexique employé (les opérations parfois nommées « manières » comme dans les manuels de fortification), le langage procédural qui use du vocabulaire des opérations, par l’usage même des problèmes, ou par la place de certaines gravures dans les planches en fin d’ouvrage, « qui empruntent leur codification graphique à celle des cartes de l’époque »[15]. Ces géométries figurent régulièrement dans ses lectures de rapporteur à l’Académie des sciences : celle de Charles-Étienne-Louis Camus, Cours de mathématique. Seconde partie. Elémens de géométrie théorique et pratique, et Troisième partie. Élémens de méchanique statique, publiés à Paris entre 1749 et 1752 par exemple. En revanche, aucun titre précis n’émerge a priori de sa période de formation.


[1] Sur Gallica, le site de la BnF, le livre de Sébastien Leclerc dont la première édition remonte à 1668 est présenté sous le titre de Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain avec un nouvel ordre et une méthode particulière mais ce n’est pas hélas celui qui figure en page de titre et ni là ni dans les pages d’introduction l’auteur ne revient sur le « nouvel ordre ». Il n’explicite pas plus ce que serait cette « méthode particulière ».

[2] http://www.clairaut.com/n1768po3pf.html

[3] Ainsi, la marquise du Chatelet écrit à Maupertuis en 1734, « Vous serez peut-être étonné que ce ne soit pas à M. Guisnée à qui je donne la préférence mais il me semble qu’il faut ou vous ou M. Clérau pour trouver des grâces à ce dernier », ce qui apparaît comme un compliment indirect pour Guisnée. L’ouvrage de Guisnée fait l’objet de l’un des tous premiers textes de D’Alembert, Remarques et éclaircissements sur différens endroits de l’application de l’algèbre à la géométrie de M[onsieu]r Guisnée, dont on trouve un manuscrit de 72 pages à la Bibliothèque de l’Institut (Ms 2033) sur lequel est indiqué en marge « fini le 23 novembre 1736 » (http://www.clairaut.com/n29juillet1739po1pf.html#Hankins70) tandis que l’un des premiers textes de Clairaut porte sur l’ouvrage de Reynaud (« Remarque sur l’Article § 52 de l’Analyse démontrée de Reynaud par Monsieur Alexis Clairaut », Journal de Trévoux, novembre 1728, pp. 2164-2166).

[4] http://www.clairaut.com/n1768po3pf.html

[5] C’est ce que décrit D’Alembert dans ses écrits autobiographiques (voir Passeron, D’Alembert : construction d’une identité scientifique au XVIIIe siècle. Jahrbuch für Europäische Wissenschaftskultur, 2008, p 18).

[6] Clairaut, ouverture de la préface aux Éléments de géométrie.

[7] J.-J. Rousseau, Les confessions, éd. GF Flammarion, I, p 271 puis 277. « Je préférai la géométrie du père Lamy qui dès lors devint un de mes auteurs favoris, et dont je relis encore avec plaisir les ouvrages. L’algèbre suivait, et c’est toujours le père Lamy que je pris pour guide ; quand je fus plus avancé, je pris la science du calcul du père Reynaud, puis son Analyse démontrée que je n’ai fait qu’effleurer. » 

[8] L’étude de la géométrie forme l’esprit « en cherchant avec méthode quelque nouveau théorème », écrit le père Lamy dans ses Éléments de géométrie ou la mesure du corps, V, 256 (je souligne). Tout le livre VII des Éléments des mathématiques ou Traité de la grandeur en général de Lamy, traite de la « méthode de résoudre une question ou problème » par la synthèse et l’analyse.

[9] Le témoignage d’une lectrice de Rivard puis de Clairaut, Madame Roland, nous montre la manière dont elle s’approprie ce qu’elle étudie : « Guéring […] venant un jour pour entretenir mon père, me trouva tellement collée sur l’in-4° de Rivard que je ne m’étais pas aperçue de son arrivée. Il entra en conversation avec moi, et m’observa que les éléments de Clairaut me conviendraient beaucoup mieux pour les notions que je désirais prendre ; le lendemain il m’apporta l’exemplaire qui était en son pouvoir. Je trouvais véritablement une réduction simple des premiers principes et, combinant à la fois que cet ouvrage m’était utile et qu’il ne convenait point d’en priver le propriétaire aussi longtemps que j’aimerais à le conserver, je pris tout uniment le parti de le copier d’un bout à l’autre, y compris ses six planches. » (in Mémoires de Madame Roland, Le Mercure de France, Paris, 1986, p 400 — la scène se passe vers 1776).

[10] Choppin, A. « Le manuel scolaire, une fausse évidence historique ». Histoire de l’éducation. mars 2008. n°117, p.  19.

[11] Préface de Rivard, p 4.  Éléments de géométrie avec un abrégé d’arithmétique et d’algèbre, par M. Rivard, à Paris chez Henry, 1732 (je souligne).

[12] Choppin, 20.

[13] Lettre du 4 février 1751 : http://www.clairaut.com/n4fevrier1751po1pf.html Charles Bossut (1730-1814), protégé de Clairaut comme de D’Alembert ou de Camus, fut nommé professeur de mathématiques à l’École Royale du Génie de Mézières en 1752 (sans doute la « carrière [qu’il entreprend] »). Il publiera un cours de mathématique en 1781.

[14] Dès le XVIe siècle, on publie des textes dont le titre signale qu’il s’agit d’ouvrages didactiques : Les Méthodiques Institutions de la vraye et parfaite arithmétique de Jacques Chauvet (1578) ou La géométrie pratique des lignes, des superficies et des corps, ou Nouvelle méthode de toiser et arpenter de Jean Boulanger (1630), Théorie et pratique des nombres méthodiquement proposées à l’usage des financiers de Jean Savary (1644) qui offre une « bonne, briesve et nouvelle méthode ou d’écrire ou d’enseigner », Catherine Goldstein, in VÉRIN H., DUBOURG GLATIGNY P., Réduire en art, La technologie de la Renaissance aux Lumières, p. 216 (je souligne).

[15] La mise en perspective des Éléments avec des textes contemporains « revient finalement à étudier l’épineuse question du degré d’originalité de Clairaut. Car ses textes d’Eléments sont clairement reconnus à l’époque comme une innovation heureuse […]; mais ils sont aussi en continuité avec différents types de genres littéraires existants. Une solution tentante du problème est d’ailleurs de regarder les textes [de Clairaut] comme une synthèse particulièrement originale et réussie, de ces différents modèles ».  Alain Bernard, https://problemata.hypotheses.org/665

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (3) : la formation de Clairaut

Ce billet fait partie d’une série de quatre dont il est le troisième. Il a été relu en séance IREM par Alain, Emmanuelle, Stéphane et Katalin. Voir :

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (1) : rencontre, hypothèses

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (2) : Clairaut en société

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (4) : les lectures de Clairaut

Parmi les livres recensés parmi ses biens à la mort de Jean-Baptiste Clairaut[1] se trouve un petit volume de Sébastien Leclerc, Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain…, publié en 1682. Ce livre se trouve aujourd’hui à la BnF, authentifié par un ex-libris manuscrit[2]. Sur la page de garde, deux annotations de deux mains différentes à propos de deux éclipses solaires visibles à Paris, l’une en 1715 l’autre en 1724. La première pourrait être de Jean-Baptiste Clairaut quand de la seconde rien n’est sûr — on ne possède pas de trace de l’écriture de Clairaut adolescent — mais elle pourrait être celle d’un enfant prodige de 11 ans. Voilà « un document certes anecdotique mais révélateur de l’esprit scientifique qui a alors cours chez les Clairaut, au cours de l’enfance d’Alexis, et concourt à [sa] formation[3] » : il s’agit de l’observation directe d’un phénomène astronomique, la prise de notes, le tout écrit sur un  livre de mathématiques comme objet à la fois précieux et familier — livre somptueusement illustré de figures propres à faire « voir » un concept, une notion, et leur pratique, livre qui présente d’entrée « l’utilité » de la géométrie pour l’astronomie (d’où les annotations ?), la géographie et les travaux des ingénieurs[4]. C’est peut-être en imitation de ce livre « qu’à l’âge de huit ans, il fit pour son propre usage un petit traité de géométrie pratique[5] » : lire, écrire, lire pour écrire, ce sont les bases d’un cursus classique.

1. Une formation intellectuelle à rebours des modes d’éducation contemporains  

Accède-t-on à une formation originale parce qu’on met entre vos mains un livre original ? Ou le plus original n’est-il pas de mettre un tel livre entre les mains d’un enfant ? Ou est-ce le livre qui est original et non le fait, pour un maître de mathématiques, de le posséder et de laisser les enfants le regarder ? Est-ce recevoir une formation originale que d’aller observer les éclipses ?

Dans son Éloge de Clairaut, le secrétaire de l’Académie des sciences, Grandjean de Fouchy, décrit autant les performances d’un enfant précoce que les inventions pédagogiques des adultes qui l’entouraient — sans qu’il soit clairement indiqué s’il s’agissait de son père seul :

On lui enseigna à connaître l’alphabet sur les figures des Éléments d’Euclide ; on se doutait bien qu’il essaierait d’en tracer de pareilles et qu’il en voudrait connaître l’usage ; c’était une espèce de piège qu’on tendait à sa curiosité, il réussit parfaitement ; et à l’aide de quelques petites récompenses accordées à propos, il sut lire et assez bien écrire à l’âge de quatre ans.

Les figures des Éléments d’Euclide n’étaient pas non plus sorties de sa mémoire et il en parlait souvent ; mais avant qu’il pût aller jusque là, il fallut le rendre familier avec le calcul, plus rebutant par lui-même, surtout pour un enfant, que toutes les figures de la géométrie. On imagina pour cela un expédient à peu près semblable à celui qu’on avait déjà employé ; ce fut de lui faire écrire de suite tous les nombres naturels depuis l’unité jusqu’à un très grand nombre, dans des cases toutes préparées, en l’avertissant que toutes les fois que les nombres n’étaient exprimés que par des 9, il fallait dans la case suivante mettre autant de 0 qu’il avait trouvé de 9 et les faire précéder à gauche du chiffre 1. On remplissait aussi d’avance quelques-unes des cases des multiples des nombres premiers ; par ce moyen la curiosité de l’enfant était piquée, et les réponses à ses questions l’instruisirent de la savante théorie de la numération, ignorée même par un grand nombre de ceux qui se servent le plus des nombres. La multiplication et les autres règles de l’arithmétique furent amenées par des moyens semblables, et il se trouva au fait de cette partie des mathématiques, presque sans s’être aperçu qu’il l’eût étudiée, ou du moins l’ayant étudiée sans aucun dégoût. Nous avons cru devoir rapporter avec quelque détail cette partie de son éducation[6].

Puisqu’il s’agit ici de cerner ce qui aura pu dans sa formation première expliquer les particularités de sa démarche didactique, il est possible de mesurer l’importance de cette première éducation dès l’ouverture de la préface aux Éléments de géométrie où Clairaut ironise sur ces manuels qui

débutent toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d’axiomes et de principes préliminaires, qui semblent ne rien promettre que de sec au lecteur.

Le livre est publié en 1741 alors que Clairaut a 28 ans, qu’il est depuis dix ans membre de l’Académie des sciences, qu’il a derrière lui le voyage en Laponie où, avec Maupertuis, il est aller mesurer l’arc du méridien au cercle polaire afin de déterminer la figure de la Terre. L’ouvrage est titré Les Éléments de géométrie — un titre courant à l’époque pour un ouvrage de géométrieet Clairaut y offre un « traité» de mathématiques dont la première partie se présente exclusivement sous la forme de problèmes. On peut pourtant douter que ce faisant, Clairaut ne cherche qu’à composer un traité à visée didactique comme pourrait nous le faire croire la préface, qui désigne les « commençants » parmi les destinataires du texte. Mais Clairaut écrit sans doute bien moins pour ces commençants[7] que pour ses pairs et ce choix d’écrire par problèmes engage tant l’auteur que les futurs lecteurs (qui ne seraient pas forcément des apprenants) dans une dynamique d’expérimentation à la recherche d’une construction active des savoirs, d’une acquisition de cet « esprit d’invention » dont Clairaut est l’un des porteurs.

2. Une formation sous influence de l’enseignement militaire

Nous venons de voir que Clairaut avait bénéficié dans son enfance d’une éducation originale, entre problèmes pratiques, jeu et connaissances académiques. De fait, la plupart des grands mathématiciens de ce siècle ont connu, sous une forme ou une autre, un parcours différent de celui qui était proposé par les cadres institutionnels. Notre vision de l’enseignement au xviiie siècle est largement influencée par l’article Collège de l’Encyclopédie, rédigé par D’Alembert. L’article, qui démolit le système d’enseignement des collèges tenus par des ordres religieux (jésuites, oratoriens…) pour mieux mettre en valeur l’organisation du cursus dans les écoles militaires, oppose ainsi un enseignement «  moderne » qui serait légitime et un « traditionnel » qui ne le serait plus. On pourrait évidemment voir le parcours de Clairaut comme une justification du point de vue de D’Alembert pour qui les grands esprits du temps se seraient formés hors de l’enseignement classique, dans un contexte plus proche de celui des écoles d’ingénieurs. Pour autant, D’Alembert lui-même a été élève au Collège  des Quatre-Nations et, dans ses écrits autobiographiques, a souligné la qualité des enseignants qu’il y a rencontrés[8]. Ainsi, l’opposition sans doute abusive qu’il décrit entre deux types de cursus est à prendre bien évidemment comme une construction rhétorique à visée politique dans le contexte de la réforme des études à la suite de la Guerre de sept ans.

Cependant, l’enseignement que Clairaut reçut chez son père est justement en rapport avec l’activité de celui-ci qui, maître de mathématiques, forme de jeunes officiers. Au-delà des inventions pédagogiques de Jean-Baptiste Clairaut, il y a pour l’enfant la fréquentation quotidienne des cours que donne son père.

À mesure que les talents de M. Clairaut se développaient, une forte inclination pour la guerre se manifestait en lui ; il se plaisait à en entendre parler, il avait souvent ce plaisir avec de jeunes officiers auxquels son père enseignait les mathématiques. Il s’animait à ces discours et cette inclination naissante aurait certainement dérangé ses études, si on ne lui eût fait entendre (ce qui est effectivement vrai jusqu’à un certain point) que l’étude des mathématiques était absolument nécessaire à quiconque aspire à se distinguer dans le service.

Les dispositions marquées du jeune Clairaut pour les mathématiques avaient fait prendre à son père la résolution de l’y pousser le plus avant qu’il serait possible, dans la vue d’en faire un jour un académicien, mais il se gardait bien de le lui dire. L’algèbre et la géométrie, qui faisaient alors sa principale occupation, ne passaient chez lui que pour des préliminaires du service. On employa même ce goût pour l’engager à apprendre le latin ; on laissait exprès à sa portée quelques livres de machines de guerre écrits en cette langue, et l’envie de les entendre le porta bientôt à l’étudier. Le désir d’entrer au service, si souvent dicté aux jeunes gens par l’envie de se débarrasser de leurs études, servit au contraire à M. Clairaut d’un puissant motif de faire les siennes avec plus d’application[9].

Même si nous avons souligné plus haut que l’ouvrage de Clairaut n’était sans doute pas explicitement destiné à un enseignement pratique, il me semble que Clairaut a d’abord pu utiliser sa propre expérience d’apprenant à la fois pour présenter sa démarche et pour construire le texte. Cela commence par ce qui peut apparaître comme des emprunts stylistiques aux géométries pratiques — celles que pouvait utiliser son père avec ses élèves. Mais il ne s’agit pas que de style : la structure même de la Première partie des Éléments, sa logique, présentent une certaine ressemblance avec la structure classique de bien des traités de géométrie pratique. Celles-ci n’ont pas toutes les mêmes ambitions, certaines sont plus démonstratives (par exemple les traités de Errard de Bar le Duc), d’autres plus procédurales (comme celles de Leclerc, nous y reviendrons). Clairaut n’invente donc pas entièrement la manière dont il essaie d’articuler géométrie pratique et savante. En revanche, l’originalité de sa démarche tient sans doute à son emphase sur la possibilité d’introduire à la géométrie savante par la pratique[10] — et non pas seulement d’ouvrir, d’élargir un traité fondamentalement pratique à la géométrie savante.

Mais Clairaut a bénéficié d’un second lieu de formation, au-delà du cadre familial, et qui est bien entendu la Société des arts. Dans cette Société qu’il fréquente à l’adolescence, il trouve sans doute un espace de débats et d’échanges exceptionnel qui le mènera à ce qui a dû être le troisième espace de construction de son savoir, c’set-à-dire le voyage en Laponie avec Maupertuis en 1736-37. De ce voyage, il ne sera pas question ici même s’il précède la rédaction des Éléments de géométrie  de quelques années : il est à l’origine d’autres travaux et ouvrages. Mais la conception même d’un texte didactique destiné à permettre, soit à de réels commençants n’ayant jamais abordé la géométrie, soit à des apprenants qui passés autrefois par un enseignement classique n’en ont gardé qu’un souvenir qui n’a rien « que de sec » de trouver une application à leur savoir, s’inscrit à mon sens dans le programme que s’était donné la Société des arts :

Pour se mettre en état de perfectionner les méthodes déjà suivies dans la pratique des arts, la Société examinera ces méthodes, en observera les avantages et les défauts et emploiera toutes sa capacité à inventer de nouveaux moyens pour les rendre en même temps plus sûrs et plus exacts et d’un usage plus facile[11].

Nous verrons ainsi dans notre troisième partie que si la Préface des Éléments de géométrie engage son auteur dans une démarche d’émancipation de ceux qui veulent accéder au savoir, ce parti-pris philosophique s’inscrit dans un mouvement plus large de divulgation du savoir mathématique comme moteur de la formation des hommes des Lumières.

3. Un parcours qui se démarque du cursus académique

Nous avons évoqué la formation des ingénieurs ou des militaires. Il existait en effet sous l’Ancien Régime plusieurs formes d’enseignement : tous les enfants qui poursuivaient une scolarité ne le faisaient pas dans le cadre d’un enseignement académique menant à l’université mais beaucoup rejoignaient des écoles militaires ou d’ingénieurs — les deux étant intimement liées. On y enseignait les mathématiques appliquées (astronomie, optique, perspective, musique, topographie, mécanique et hydraulique, etc.) dans le cadre d’une pédagogie souvent innovante prenant en compte les développements contemporains de la physique et des mathématiques, à la suite de la diffusion des écrits de Newton[12]. L’enseignement pratique lié notamment aux métiers de la guerre ou à la navigation ou aux métiers d’ingénieurs (les fortifications, la balistique, la construction de navires) était justement celui proposé par le père de Clairaut à de jeunes officiers — c’est cet enseignement qui servira de cadre intellectuel au jeune garçon[13].

Il existait d’autre part le cursus académique, fixé depuis des siècles par l’Université et poursuivi dans les collèges[14] — parcours que Clairaut n’a pas suivi. Dans le cadre de ce cursus, les mathématiques ne figuraient au programme que sur les deux années de classe de philosophie (l’année de physique puis celle de logique), à la fin des années de collège donc, juste avant l’entrée à l’université. Elles étaient associées à la physique en parallèle à l’étude de la philosophie d’Aristote puisqu’elles constituaient l’un des sept arts libéraux du cursus classique qui en était le reflet[15]. Les programmes à ce stade étant d’une difficulté évidente (l’étude d’Euclide y tenait une place centrale) et les mathématiques n’apparaissant pas dans ce qui était étudié les années précédentes, on peut se demander comment les élèves pouvaient affronter cet enseignement — quelles bases avaient-ils pour suivre ce cours ?

Il faut remarquer en préliminaire que pour nombre d’entre eux, ceux qui se destinaient à l’université ou au clergé, voire à la médecine, les mathématiques devaient apparaître comme un pensum à ingérer, d’importance mineure par rapport à celle du latin ou de la philosophie classique. Ce point de vue était partagé par nombre d’universitaires et, malgré les incitations des plus hautes autorités chez les jésuites comme chez les oratoriens, les deux grands ordres enseignants d’alors, il était difficile de trouver des professeurs de mathématiques (et lorsqu’on les trouvait, on les gardait ce qui empêchait la circulation des enseignants — ou leur mutation…)[16]. Bien des collèges d’ailleurs n’avaient tout simplement pas de professeurs de mathématiques et cet enseignement pouvait être donné par les professeurs de philosophie[17]. Jusqu’au milieu du xviie siècle, enfin, tous ces cours se déroulaient en latin. Mais nous avons vu que D’Alembert, dans ses écrits autobiographiques, tout en critiquant la place marginale que tiennent les mathématiques dans le cursus académique, souligne le rôle essentiel de certains enseignants pour la diffusion du savoir : il existe non seulement de bons professeurs mais des professeurs originaux dont les talents pédagogiques aident à développer le potentiel des élèves. Nous retrouvons ici la contradiction entre la supposée rigidité du système, que dénonce D’Alembert dans son article pour l’Encyclopédie, et les ouvertures qu’il propose[18].

Il nous semble pourtant difficile d’imaginer aujourd’hui que les élèves de ces classes aient pu se consacrer à cet enseignement sans en avoir les bases[19]. Le seul enseignement des mathématiques qu’ils aient reçu jusque là tenait à ce qui était enseigné en parallèle des humanités, dans les « chambres d’abécédaires » — il s’agit d’un enseignement élémentaire — où les bases de la numération et du calcul étaient expliqués par les régents d’étude. Mais notre conception de l’enseignement comme un tout organisé sur des années, avec une progression logique en rapport avec la maturation de l’enfant, n’a pas grand chose à voir avec l’enseignement tel qu’il était mené aux xviie ou xviiie siècle. Le découpage de la scolarité en classe, avec examens de passage, établi par les jésuites dès le xvie siècle, ne correspondait pas forcément à un âge précis. On entrait à l’école à des âges et à des niveaux très variables[20]. Un enfant pouvait enfin être instruit par des maîtres de pensions qui n’étaient pas à proprement parler des écoles élémentaires mais qui préparaient à l’entrée dans les écoles militaires ou les collèges[21]. Sous quelle forme ces cours étaient-ils dispensés ? Quelle était la part de la répétition dans les apprentissages et celle de l’entrainement, de la résolution ? Quelle place le livre y tenait-il, s’il ne s’agissait pas de manuels ? Ce sera l’objet de la dernière partie de ce travail.

Dans les pensions tenues par les jésuites, il faut ajouter aux professeurs les maîtres, et plus modestement encore, les lecteurs, qui pouvaient suivre certains élèves et leur proposer un enseignement en plus des cours. Encore une fois, la forme exacte de cet enseignement nous échappe : livres, cahiers, notes de marge, exercices ? Mais nous savons que certains préfets d’études étaient également des mathématiciens et donnaient des cours à titre privé, en dehors de tout cursus, qu’il s’agisse de cours collectifs ou de cours individuels : on rejoint ici indirectement cette pratique « familiale » de l’enseignement telle que nous l’avons décrite plus haut — celle de l’enfant et de ses précepteurs — ce qui relie paradoxalement Clairaut à la forme la plus académique de formation, celle que recevaient les jeunes bien nés de son temps.


[1] Courcelle,  http://clairaut.com/nSansdatepo1pf.html#Leclerc82

[2] https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b55005648x?rk=64378;0

[3] Rémi Mathis, Un intérêt pour les éclipses chez Alexis Clairaut, encore enfant, et son père Jean-Baptiste, Ad Vivum – L’estampe et le dessin anciens à la BnF, 26 juillet 2017, https://estampe.hypotheses.org/1536

[4] Notons que Sébastien Leclerc avait aussi publié une Géométrie théorique et pratique mise à la portée des ouvriers et des élèves qui veulent s’instruire eux-mêmes et sans maître, ou le Parfait manuel de l’arpenteur.

[5] Éloge de Clairaut dans le Journal encyclopédique, le 15 juin 1765 http://www.clairaut.com/n15juin1765po2pf.html

[6] http://clairaut.com/n13novembre1765po1pf.html

[7] Ce n’est qu’au XIXe siècle que les rééditions des Éléments de géométrie de Clairaut seront présentées explicitement sous la forme d’un manuel. Au XVIIIe siècle, même s’il s’opère une réflexion sur l’idée de manuels à proposer aux maîtres (comme le fait Condorcet), cette réflexion n’ouvre pas immédiatement sur la réalisation pratique de ce type d’ouvrages.

[8] Voir l’article d’Irène Passeron, D’Alembert : construction d’une identité scientifique au XVIIIe siècle. Jahrbuch für Europäische Wissenschaftskultur, 2008, p. 11-34. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00361470v1/document

[9] http://clairaut.com/n13novembre1765po1pf.html

[10] Je synthétise ici la discussion avec Frédéric Métin évoquée par Alain Bernard, https://problemata.hypotheses.org/665. Frédéric Métin propose une comparaison entre l’ouvrage de Clairaut et la logique du traité de géométrie pratique de Samuel Marolois (1572-1627). Il faudrait évidemment  avoir en main le catalogue même de la bibliothèque des Clairaut père et fils.

[11] Idée de l’établissement de la Société Académique des Beaux-arts, du plan sur lequel Elle se propose de travailler et des Règlements qu’elle croit devoir observer pour remplir ses vues (1728).

[12] Voir Julia D., « Une réforme impossible [Le changement de cursus dans la France du 18ème siècle] ». Actes de la Recherche en Sciences sociales. Vol. 47‑48, Juin 1983 : Éducation et philosophie, p 53 ; ou Ehrard J., L’enseignement des mathématiques dans les collèges oratoriens au XVIIIe siècle, in Le collège de Riom et l’enseignement oratorien en France au XVIIIe siècle, Paris, CNRS-éditions, et Oxford, Voltaire Foundation, 1993, p 2. Citons en particulier l’abbaye de Sorèze devenue collège au XVIIe siècle puis école royale militaire (1776 – 1793) ou l’école royale du génie de Mézières fondée en 1748.

[13] Voir Liliane Alfonsi, Etienne Bézout (1730-1783) : mathématicien des Lumières. Paris : L’Harmattan, 2011.

[14] Sans grand rapport avec les collèges actuels, ces collèges avaient été créés au Moyen âge pour préparer à l’entrée dans les universités. Dégagés par la suite de cette fonction, ils apportaient un enseignement de base organisé sur quatre à huit ans (petits collèges ou collèges de plein exercice) et suivant un ordre d’études, le Ratio Studiorum. Ce dernier comprenait quatre classes de grammaire, une classe d’humanité et une classe de rhétorique, auxquelles s’ajoutaient deux classes de philosophie. Par ailleurs, nombre d’enfants, notamment dans les milieux d’artisans, suivaient un cours pratique dans de petites écoles qui offraient, aux côtés d’un enseignement professionnel, des cours de mathématiques appliquées au commerce.

[15] Ehrard, 2.

[16] Dainville F., L’enseignement des mathématiques dans les collèges jésuites de France du XVIe au XVIIIe siècle. Revue d’histoire des sciences et de leurs applications, tome 7, n°1, 1954, p 16.

[17] Tout au long du XVIIe siècle, les Pères généraux ont insisté sur la nécessité de commencer jeune l’apprentissage des mathématiques, au vu de la difficulté de la discipline, afin de limiter le risque de dégoût ressenti par les étudiants plus âgés quand ils finissent par s’y affronter (Dainville, 16).

[18] Passeron, p. 17-20. Le professeur si original, le « seul maître » est le professeur de mathématiques élémentaires Caron.

[19] Un seul collège, à Lyon, proposait un enseignement de l’arithmétique et de la géométrie en classe de 2nde puis l’algèbre sur la fin du cursus (Julia, 63).

[20] Il va sans dire que seuls les garçons étaient concernés, les filles n’ayant malencontreusement pas le niveau requis (ce qui va de soi puisqu’elles n’allaient pas à l’école). Le jeune d’Alembert entre ainsi à la pension Bérée à l’âge de 4 ans.

[21] D’Alembert quitte la pension Berée à 12 ans pour entrer au collège des Quatre-Nations.

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (2) : Clairaut en société

Cet article fait partie d’une série de quatre dont il est le deuxième. Il a été relu en séance IREM par Alain, Emmanuelle, Stéphane et Katalin. Voir :

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (1) : rencontre, hypothèses

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (3) : la formation de Clairaut

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (4) : les lectures de Clairaut

Pour comprendre la période de formation de Clairaut puis celle où il compose ses Éléments de géométrie, il nous faut nous pencher sur le contexte des académies et sociétés savantes qui, comme la Société des arts, sont à l’origine du cercle des Encyclopédistes : chacun d’eux en effet s’est intéressé aux questions d’éducation au cours du XVIIIe siècle. Or tout jeune, à quinze ans, Clairaut a appartenu à cette Société des arts et avec lui, son père, maître de mathématiques et l’un des membres fondateurs de cette société, et son frère cadet, lui aussi mathématicien plein d’avenir mais qui devait mourir à l’adolescence.

1. Réunir savants et artistes : le creuset de la Société des arts

Dès le milieu du XVIIe siècle, on avait assisté en France à des tentatives pour faire travailler ensemble des savants et des artisans experts dans leur art afin de développer les techniques et de favoriser à la fois inventions, machines, processus de fabrication et ce que nous appellerions la croissance économique. Suivie de près par le pouvoir royal, il y eut ainsi une Compagnie des sciences et des arts dont Huygens par exemple fit partie et qui se réunissait avec la protection de Colbert. De cette Compagnie est issue en 1666 l’Académie des sciences à laquelle Colbert posa commande dès 1676 d’un traité sur les arts et techniques assorti d’un catalogue illustré des outils employés par les différents métiers. Ce traité, ce catalogue, c’est de fait ce que réalisera L’Encyclopédie, trois-quarts de siècle plus tard. Mais l’Académie, rompant avec les techniciens de la Compagnie des sciences et des arts et ne réunissant plus que les seuls savants, avait montré un si faible enthousiasme pour cette opération qu’il n’y eut plus d’autre solution après 1690 que de le poursuivre à l’extérieur de l’institution royale :  il y eut tout d’abord une éphémère Commission des arts, puis sous la Régence une « Société destinée à l’avancement des arts » ou « Société académique des beaux-arts » au Louvre, société qui se réunissait sous la protection du duc d’Orléans (le Régent) — les arts étant entendus avant tout comme « techniques savantes ». L’horloger anglais Sully qui avait dirigé la Manufacture d’horloges de Versailles, qui travaillait à la mise au point d’une horloge de marine nécessaire à la navigation en particulier pour la mesure des longitudes et qui était le maître d’œuvre de la méridienne ou gnomon de Saint-Sulpice[1] et Jean-Baptiste Clairaut, le père d’Alexis Clairaut, avaient déjà appartenu à ce premier groupe qui disparut en 1723 avec la mort du Régent. On voit de cet enchainement de sociétés savantes, et de leurs mécènes, la dimension politique du projet qui a évidemment à voir avec la puissance économique et commerciale du pays.

Une nouvelle société, la Société des arts, est enfin formée en 1728 autour du comte de Clermont (le fils du Régent) par les Clairaut père et fils, les horlogers Leroy et Sully, le compositeur Jean-Philippe Rameau, le géographe La Condamine et, trois mois plus tard, l’abbé Nollet. L’objet général de la Société était « la perfection des arts dont elle fera la description et même l’histoire ». Il s’agit ainsi d’unir des travaux d’origine différente pour forger un savoir commun tant aux scientifiques qu’à ceux qui utiliseront leurs recherches : construire une histoire de l’expérience technique qui ne soit pas tournée vers le passé mais qui montrerait la puissance dynamique d’un savoir technique en prise directe avec la matière, réduire les arts en règles[2]. L’institution préfigure clairement L’Encyclopédie non seulement par ses objectifs (recenser toute une série de savoirs tant scientifiques que techniques entre autres), mais par son idéologie, par les implications politiques de son projet ou par ses membres mêmes puisque plusieurs d’entre eux seront plus tard des contributeurs de L’Encyclopédie (Gua de Malves, Clairaut, le chirurgien et physiocrate Quesnay, le géographe La Condamine, le graveur Papillon et les horlogers Julien et Pierre Leroy).

La société se réunissait deux fois par semaine et chaque associé devait après sa réception présenter un mémoire qui, s’il était validé par les membres, serait publié avec mention du patronage de la Société des arts. Paradoxalement, cette publication entrait en contradiction avec la nécessité du secret dans l’objectif de protéger les inventions présentées : on voulait partager les découvertes, les techniques nouvelles, on voulait rompre avec les vieilles pratiques des métiers et des guildes — mais les inventeurs avaient également besoin de vivre et donc de se garantir des clients.

On peut distinguer trois groupes entre les associés : les scientifiques, les « artistes », et les artisans et techniciens — la frontière est parfois fine entre les uns et les autres. Sera qualifié d’artiste « un artisan doté d’esprit »[3], quelqu’un qui combinerait la maîtrise d’un métier et la science qui lui est liée (la théorie et la pratique). Aux scientifiques sont associés ceux dont les activités, les connaissances techniques, seraient les plus liées aux processus de recherche : la Société est en effet convaincue que

la théorie seule n’allait guère plus loin qu’à satisfaire la curiosité, et que la pratique dénuée des lumières de la théorie n’était ordinairement qu’une espèce d’habile routine que le bonheur du succès n’accompagnait pas toujours[4].

Pour mener à bien ce projet « inspiré par l’amour du Vrai et par celui du bien public »[5], des « experts » déjà connus et qui bénéficient évidemment déjà de protections et de mécènes. Ce sont des physiciens et mécaniciens suivis des géomètres et mathématiciens représentés notamment par les Clairaut (père, fils aîné et fils cadet), sans qu’il soit toujours aisé de distinguer la nuance entre chacune de ces appellations ; on trouve ensuite une dizaine de chimistes et des ingénieurs, des horlogers[6], des médecins et anatomistes, des astronomes.

La Société réduit cependant assez rapidement ses activités. Dès 1733, le comte de Clermont partant pour la guerre, elle perd un protecteur dont elle était donc totalement tributaire. Le pouvoir royal reprend la main en favorisant le renouvellement de l’Académie des sciences, avec notamment l’entrée à l’Académie de partisans de la physique de Newton. Une partie des membres de la Société des arts rejoint l’Académie des sciences qui recrute parmi eux les personnalités les plus intéressantes, essentiellement des « théoriciens » — mécaniciens (physiciens), chimistes, astronomes, géomètres en particulier. La Société des arts, pour autant, ne s’éteint pas si vite. Ces deux lieux de savoirs, liés l’un et l’autre au pouvoir, vont ainsi orienter la production scientifique française dans des directions complémentaires. Clairaut avait été entendu dès 1726 (il n’avait alors que 13 ans) et, au vu de ses contributions à la Société des arts, il est élu à l’Académie en 1731 avec une dispense — puisqu’il n’avait pas 21 ans. Il est évident par la liste des activités conservées que ce faisant, l’Académie a puisé dans le vivier de talents de la Société, jusqu’à reprendre certains projets liés à des « praticiens ». En revanche, ce qui va miner la Société des arts et conduire à sa disparition en 1737, c’est d’abord la contradiction entre la rhétorique de collaboration, coopération et émulation entre théoriciens et praticiens d’une part, et l’ambition d’artistes prêts à mettre leur talent personnel au service de mécènes. Cette contradiction prend toute sa force dès lors que les fonds promis par le comte de Clermont se réduisent (et pour une part ne seront jamais versés). La réussite de la Société des arts, bien davantage que l’Académie des Sciences, par son recrutement même reposait sur la réussite économique de ses membres, sur les commandes qu’ils reçoivent, les projets qu’ils voient financer : dès lors que le comte de Clermont n’honore pas sa promesse de financer un prix qui viendrait récompenser les recherches les plus intéressantes, la Société perd de son attrait[7].

La Société des arts a néanmoins permis sur ses cinq premières années d’activité une large diffusion des nouvelles techniques exposées en séance. Elle constitue un relais de médiation entre l’étude savante, les sciences, et un large champ social prêt à absorber leurs avancées et à les convertir en expérience pratique. A la différence de bien des sociétés « savantes », pour la Société des arts les sciences ne s’inventent, ne se construisent que par la médiation de la pratique.

Pour se mettre en état de perfectionner les méthodes déjà suivies dans la pratique des arts, la Société examinera ces méthodes, en observera les avantages et les défauts et emploiera toutes sa capacité à inventer de nouveaux moyens pour les rendre en même temps plus sûrs et plus exacts et d’un usage plus facile[8].

[Elle veut] perfectionner les méthodes déjà suivies et en inventer de plus propres à unir intimement la théorie et la pratique, afin de rendre celle-ci familière aux théoriciens et celle-là aux praticiens[9].

Elle forge ainsi le modèle de ce qui va caractériser le siècle des Lumières et de l’Encyclopédie.

2. Les Clairaut et la Société des arts

L’activité de la Société des arts, sans doute constituée en majeure partie de « causeries expérimentales » a prouvé que la première manière d’enseigner les sciences à ceux qui n’en ont pas ou peu connaissance était avant tout de leur montrer comment elle fonctionne — ce que fera justement Clairaut en passant par les problèmes. On peut en effet considérer que certaines des caractéristiques des enseignements proposés par Clairaut proviennent de l’approche suivie par la Société des arts marquée par le dialogue entre théoriciens et praticiens, par la place de l’expérimentation et, en parallèle, par la démonstration des applications utiles des faits exposés. D’autre part, plusieurs des membres de la Société des arts travaillaient soit comme précepteurs dans des familles, soit comme enseignants, notamment dans des écoles militaires, ce qui peut donner à penser que la réflexion sur l’enseignement était centrale dans ces milieux d’artistes, d’artisans avec de l’esprit, ces milieux qui cherchent à se dégager des cadres traditionnels de formation au moment de leur promotion dans la société d’Ancien régime[10].

Ainsi, Clairaut n’est pas passé par un enseignement académique puisqu’il a bénéficié à la fois d’une démarche pédagogique expérimentale de la part de son père, puis des cours de mathématiques appliquées que celui-ci donnait à de futurs ingénieurs ou militaires. L’Éloge publié par Grandjean de Fouchy, le secrétaire de l’Académie des sciences, dans le Journal encyclopédique à la mort de Clairaut commence par l’anecdote suivante dont on peut imaginer qu’elle n’est pas entièrement sans relation avec sa tentative de composer un ouvrage de géométrie différent de ceux qui existaient alors :

il reçut de son père les premiers principes de la géométrie et des mathématiques, pour lesquelles il montra de si grandes dispositions dès l’enfance, qu’à l’âge de huit ans, il fit pour son propre usage un petit traité de géométrie pratique[11].

Nous verrons plus tard le portrait du jeune Clairaut que dessine l’éloge de Grandjean de Fouchy avec une exquise description des stratagèmes utilisés par son père pour éveiller son intelligence. Nous savons par ailleurs que l’éducation des jeunes enfants était un sujet d’intérêt notable pour Jean-Baptiste Clairaut son père, qui, en 1728, s’était vivement intéressé au Bureau typographique présenté à la Société des arts par Louis Dumas au point de travailler à le perfectionner et de présenter à la Société un « programme d’éducation des enfants » : des casiers renfermant de petites cartes avec des lettres, des mots, le tout présenté comme une nouvelle méthode d’apprentissage de la lecture notamment[12].

La formation qu’a suivie Alexis Clairaut (comme c’est le cas pour la plupart des mathématiciens et savants au XVIIIe siècle) a sans doute été assez différente de l’éducation que pouvait recevoir la plupart des autres enfants de son milieu, à la maison comme au collège. Il n’y a pas de trace d’apprentissages rabâchés mais un parcours qui a alterné entre problèmes pratiques, jeu et connaissances académiques puisque l’enfant ne consentit à apprendre les mathématiques, la cartographie ou le latin, avant ses dix ans, que pour mieux entrer dans la profession des armes qui exaltait son imagination : les apprentissages marchaient de pair avec jouer à la guerre. Or cette balance entre savoir pratique et savoir savant, où le premier n’est pas valorisé sur le second mais sont poursuivis conjointement, était au cœur même du programme de la Société des arts comme des Sociétés et Commissions qui l’avaient précédée au tournant du XVIIIe siècle. Ainsi, en 1719, alors que Clairaut a six ans, son père est membre de la première Société des arts dont est membre l’horloger Sully qui, à la même époque, dirige la Manufacture d’horlogerie de Versailles, lieu tout autant de production que de recherche et d’enseignement où sont mis en avant l’expérimentation et l’inventivité comme éléments essentiels de la formation[13].

La problématique énoncée par Clairaut dans sa préface aux Éléments de géométrie rejoindrait alors celle qui constitua l’essence même du projet de la Société des arts (et sa propre éducation sans doute) : permettre à l’apprenant de se construire un savoir mathématique qui ne soit pas figé dans la répétition des savoirs antiques mais qui reconstitue le mouvement même de l’invention. Ce mouvement passe notamment par l’usage de problèmes : partir d’une pratique de la matière, fut-elle virtuelle et associant ainsi dans la démarche la théorie — mathématique — à sa contrepartie — physique[14]. Ainsi, il subsisterait de l’héritage de la Société des arts l’idée que le savoir se constitue par des aller-retour entre l’expérience et la réflexion, et que ce savoir théorique qu’on veut perfectionner émergera d’une activité pratique et qu’il progressera par sa confrontation à des problèmes concrets.

perfectionner les méthodes déjà suivies et en inventer de plus propres à unir intimement la théorie et la pratique, afin de rendre celle-ci familière aux théoriciens et celle-là aux praticiens. […]

aider aux inventeurs à perfectionner [les inventions nouvelles] lorsqu’elles lui paraîtront pouvoir être de quelque utilité au public[15].

L’idéologie de la Société des arts qui mettait l’accent sur la collaboration et le partage de connaissances entre ses membres, en opposition avec la culture du secret qui était celle des guildes et confréries d’artisans se retrouverait ainsi dans la recherche de l’esprit d’invention cher à Clairaut — en opposition avec la présentation aride des manuels mathématiques de son temps qui exigeaient du lecteur qu’il passe par de longs apprentissages arides. Valoriser le retour sur le mouvement même de l’invention mathématique pour permettre à l’apprenant de se former, ce serait un processus similaire, en quelque sorte, de celui qui pousse l’abbé Nollet à ajouter à ses manuels des planches illustrées montrant comment fabriquer les appareils de physique qui permettront de réaliser les expériences, de les discuter, de les critiquer, d’en trouver l’explication à partir de ce qu’on a observé[16].

L’ouvrage de l’abbé Nollet, Leçons de physique expérimentale, publié à Paris en 1743, comporte de nombreuses illustrations conformément à l’esprit de la Société des Arts (dont Nollet était membre). On y voit autant le caractère savant des instruments présentés que la manière de les construire ou de les expérimenter (ici une boîte d’optique). Quelques unes de ces images montrent aussi que les destinataires de l’ouvrage ne sont plus seulement des spécialistes mais aussi, comme ici, des enfants — garçons et filles.

Bibliographie

BERTUCCI P., Artisanal Enlightement, Science and the Mechanical Arts in Old Regime France, Yale University Press, 2018.

CLAIRAUT, Alexis-Claude. Éléments de géométrie, par Clairaut,… Nouvelle édition mise en accord avec le système décimal, par M. Honoré Regodt,…. 1853.

clairaut.com : le site d’Olivier Courcelles qui recense toutes les informations disponibles sur Clairaut

VÉRIN H., DUBOURG GLATIGNY P., Réduire en art, La technologie de la Renaissance aux Lumières. Éditions de la Maison des sciences de l’homme. Paris, 2018. 374 p.

Notes :

[1] L’ensemble est organisé autour d’une méridienne, ligne qui suit strictement l’axe nord-sud et qui est figurée par une ligne métallique fixée dans le dallage du sol de l’église. Il ne s’agit pas du méridien de Paris établi en 1667 et qui passe à quelques centaines de mètres de là par le Luxembourg et en direction de l’observatoire. Un trou dans l’une des verrières sud du bras du transept laisse passer un rayon de soleil qui dessinera un petit cercle sur le sol. Ce disque lumineux croise la ligne méridienne lorsque le soleil est au zénith, c’est-à-dire au moment du midi exact ou astronomique, et ce en des points différents selon le moment de l’année : à l’équinoxe, marqué par un disque d’or, le soleil est exactement en face de l’autel ; au solstice d’été, le soleil a une hauteur de 64° 35’ et touche un carré de marbre au bas de la verrière ; au solstice d’hiver, la largeur de l’église n’étant pas suffisante pour permettre au rayon d’étirer toute sa longueur, une obélisque sur le mur nord permet d’enregistrer le mouvement du soleil jusqu’à sa plus faible hauteur,  à 17° 42’.  Le gnomon devait être utilisé afin de permettre de régler les horloges, il permettait de définir précisément l’heure moyenne, celle des montres et horloges, calculée à partir de l’heure réelle, celle déduite du mouvement apparent du soleil. Les variations entre le temps réel et le temps des horloges varie de plus ou moins 16 minutes pendant l’année, variations codifiées par les tables d’équation du temps publiées notamment par Huygens et régulièrement corrigées tout au long des du XVIIe et XVIIIe siècle.

[2] Voir Vérin, Dubourg-Glatigny, Réduire en arts.

[3] Pierre Richelet, Nouveau dictionnaire françois : contenant généralement tous les mots anciens et modernes (Amsterdam, 1709).

[4] Idée de l’établissement de la Société Académique des Beaux-arts, du plan sur lequel Elle se propose de travailler et des Règlements qu’elle croit devoir observer pour remplir ses vues (1728).

[5] Ibid.

[6] Horlogers dont l’importance pour la navigation et donc la maîtrise des océans est fondamentale. Rappelons qu’en 1714, le Parlement britannique avait promis un prix à qui trouverait  une solution acceptable au problème de la détermination de la longitude en mer. La première « horloge marine à longitude » est mise au point par John Harrison en 1736 et remporte le prix. En France, le chronomètre de marine de Pierre Le Roy sera expérimenté en 1767.

[7] Voir Paola Bertucci, 107.

[8] Idée de l’établissement de la Société Académique des Beaux-arts, op. cit.

[9] Règlement de la société des arts, esquisse manuscrite de 1728 du règlement imprimé de 1730.

[10] Bertucci, 118-121.

[11] http://clairaut.com/n15juin1765po2pf.html

[12] Bertucci, 178-179.

[13] Ibid., 88.

[14] Ainsi l’horloger Julien Le Roy, dans les propositions qu’il soumet au Bureau du Commerce pour améliorer la production française et le commerce de montres et horloges, insiste sur la nécessité d’une double formation pour les apprentis qui associerait à la pratique de leur art la maîtrise de connaissances théoriques en physique et mécanique. Le Roy pour sa part était associé à la Société des arts avec le mathématicien et académicien La Hire (Bertucci, 110-113).

[15] Règlement de la société des arts, op. cit.

[16] Nollet considérait qu’il fallait éviter de faire de la science spectaculaire et de laisser ceux qui avaient assisté aux expériences sans explications. Pour lui, l’expérience devait être suivie d’un exposé scientifique : il s’agissait de former l’intelligence (Préface des Leçons de physique expérimentale). Cette expérimentation s’appuie sur l’usage d’instruments dont Nollet, dans le cadre de la formation à la physique, donne non seulement le mode d’emploi mais aussi les plans. Ceux qui veulent étudier la physique peuvent ainsi commencer par en fabriquer les outils.

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (1) : rencontre, hypothèses

ou Pourquoi je me suis intéressée à Clairaut

Ce billet est le premier d’une série de quatre qui, dans leur totalité, forment la dernière partie d’un projet poursuivi depuis l’année 2018 avec Alain et Katalin autour des Éléments de géométrie de Clairaut. Cette partie, qui avait pour objectif de contextualiser la conception et l’écriture de ces Éléments, est devenu peu à peu un texte autonome organisé autour de trois thèmes — Clairaut en société, sa formation première, ses lectures. Il s’agit pour moi ici de présenter une étape de cette recherche, de l’ouvrir à la discussion et, pour en faciliter la lecture, j’ai partagé mon travail en quatre articles dont celui-ci serait l’introduction. Ces quatre billets ont été relus en séance IREM par Alain, Emmanuelle, Stéphane et Katalin, les suivants sont :

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (2) : Clairaut en société

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (3) : la formation de Clairaut

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (4) : les lectures de Clairaut

Je suis arrivée à Clairaut par hasard : mon intérêt pour lui est le fruit de rencontres et de discussions sur un mathématicien actif il y a près de trois siècles alors que, a priori, rien ne me destinait à m’intéresser à quoi que ce soit en rapport avec les mathématiques. Dans ma pratique d’enseignante d’histoire-géographie en collège, j’ai mené de nombreux parcours interdisciplinaires, avec des collègues de lettres, d’anglais, d’allemand, de latin, de sport — sans jamais penser aux mathématiques. Et puis j’ai rencontré Stéphane Herrero et nous avons mené quelques actions ensemble qui m’ont prouvé que non seulement cette association de disciplines était réalisable mais qu’elle était enrichissante autant pour moi que pour nos élèves. A partir de là, j’ai commencé à m’intéresser aussi à la manière dont travaillaient mes collègues de maths, aux problèmes qu’ils se posaient, aux difficultés qu’ils rencontraient — que les élèves rencontraient. Comment enseigner l’histoire m’avait toujours semblé évident (même si mon approche a beaucoup changé au cours de ma carrière), comment enseigner la géographie a longtemps été plus compliqué (la question de ce qu’est exactement la géographie reste d’ailleurs ouverte). Et voilà que la question de la manière d’enseigner les mathématiques m’est soudain apparue bien intéressante.

Et là, venue à l’Irem parce que m’était promise la rencontre avec un autre langage, une autre culture que celles que je connaissais et maîtrisais, à un moment où il me fallait sortir de ce dont j’avais l’habitude, je « rencontre » Clairaut.

Je m’attache à lui parce que j’aime le siècle des Lumières et que, depuis longtemps, je souhaitais travailler sur un personnage de cette époque. Je m’y attache parce que les archives autour de Clairaut, disponibles sur le site d’Olivier Courcelles clairaut.com, sont d’une grande richesse et que je prends plaisir à les explorer. Rapidement, je dois admettre que je ne pourrai pas directement utiliser ce travail dans ma pratique : trop compliqué, trop loin de ce que pourrait suivre mes élèves. Et pourtant, au cours de nos lectures de Clairaut, à l’Irem de Paris Nord, je vois ce que mes collègues de maths peuvent tirer des problèmes figurant dans les Éléments de géométrie, déjà explorés depuis longtemps à l’Irem de Poitiers notamment. Et s’ils peuvent s’appuyer non seulement directement sur ce texte, mais sur la spécificité didactique de sa démarche, pourquoi ne pourrais-je pas en faire autant dans mon cours, en histoire ?

Le texte des Éléments de géométrie, publié par Clairaut en 1741, sa construction, son insistance sur l’esprit d’invention, le contexte dans lequel il est écrit, la personnalité de son auteur, sont autant de fils à suivre pour notre groupe. Si je suis avec intérêt les échanges sur l’analyse de la structure du livre, si je participe à l’étude linéaire des problèmes, je suis contrainte néanmoins par mes propres limites de céder le pas sur ce qui relève essentiellement des mathématiques et je vais d’abord me pencher sur la préface de l’ouvrage, les intentions de Clairaut — et leur place dans l’idéologie des Lumières.  Cet aller-retour entre mathématiques et histoire, cette approche parallèle et fertile entre les domaines d’étude font la richesse des rencontres de notre groupe Irem et sont au cœur du thème de ce carnet de recherche entre mathématiques, histoire et citoyenneté.

Partant d’une lecture historique inspirée d’abord par la lecture de l’article séminal d’Evelyne Barbin[1] sur la façon dont Clairaut “problématise” la géométrie, plusieurs questions se sont posées : dans quel mouvement d’idées ce petit livre des Éléments de géométrie est-il né? À quel mouvement intellectuel Clairaut appartenait-il ? À quelle filiation idéologique pouvait-on intégrer son ouvrage ? Et puisque ses contemporains avaient souligné l’originalité de ces Éléments, je me suis demandé comment pouvait s’insérer à l’époque les mathématiques au sein d’un cursus « classique » d’enseignement, quand Euclide figurait parmi les Humanités — quelle était la progression, les contenus d’enseignement, les cours, les manuels ? Qui étaient les enseignants, où avaient-ils été formés ? Quant à Clairaut, tout enfant prodige qu’il ait pu être, quel parcours avait été le sien ? Quels avaient été ses précepteurs ? Quels livres avaient-ils eu en main ? Son père, futur membre fondateur de la Société des arts, société savante qui préfigure le mouvement des Encyclopédistes, enseignait à de futurs ingénieurs, à de jeunes officiers. Cet enseignement-là pouvait-il expliquer le recours à des séries de problèmes pour construire un ouvrage de mathématiques savantes ?

Pour décrire le contexte dans lequel se forme la première génération des Lumières, celle à laquelle appartient Clairaut, il me faudra présenter tout d’abord dans cette série de billets le cercle dans lequel celle-ci se rassemble : il s’agit d’une société savante, la Société des arts[2], dont les activités ont rassemblé des artistes, c’est-à-dire des artisans armés d’un savoir supérieur, des artisans « dotés d’esprit ». Nous suivrons ensuite le parcours de formation du jeune Clairaut avant, plus tard, de le mettre en rapport avec ses lectures, avec les formes que pouvait prendre l’enseignement des mathématiques au tournant du XVIIIe siècle.

Nous verrons que même si Les Éléments de géométrie (et plus tard Les Éléments d’algèbre) n’étaient pas destinés à un enseignement pratique, il me semble que Clairaut, alors qu’il réfléchit sur ce que pourrait être une forme didactique nouvelle, s’appuie sur l’expérience des géométries pratiques contemporaines qui se font de plus en plus savants à la fin du XVIIe siècle et ce sont les parentés avec ces ouvrages qui font peut-être la première originalité de ce cours traité : il s’inspirerait d’abord, assez naturellement, de ses lectures. En cela, il utiliserait non seulement ce qui est alors débattu dans le cercle qu’il fréquente, constitué largement de membres de la Société des arts, mais aussi sa propre expérience d’apprenant.

L’hypothèse que je suivrai, qui me semble corroborée par diverses lectures, de celle d’Hélène Vérin aux travaux d’Irène Passeron et plus récemment d’Artisanal Enlightenment de Paola Bertucci, est que Les Éléments de géométrie de Clairaut en eux-mêmes ne constitueraient pas forcément une approche didactique entièrement novatrice : s’il l’est certainement en tant qu’ouvrage théorique, en comparaison avec ce qui était proposé par les ouvrages classiques de mathématiques, ceux utilisés dans les collèges, le livre devrait se révéler moins surprenant si on le comparait plutôt aux géométries pratiques, à des ouvrages et des méthodes utilisés pour la formation des ingénieurs ou des militaires. Ce qui serait novateur, ainsi, serait que Clairaut reprenne des méthodes employées dans le cadre d’un enseignement de mathématiques appliquées pour un ouvrage de mathématiques savantes : or cette démarche n’est pas qu’un subterfuge didactique mais, comment nous le verrons, elle caractérise l’esprit même du contexte idéologique dans lequel a grandi Clairaut.


[1] Evelyne Barbin, Les Éléments de Clairaut, une géométrie problématisée. Exposé présenté lors du Colloque de géométrie de Port d’Albret en juin 1990. Repères Irem n°4 – Juillet 1991, pp. 119-133.

[2] Voir l’ouvrage de Paola Bertucci, Artisanal Enlightement, Yale University Press, 2017.

Deux séances IREM, autour de Clairaut

Dans son intervention en stage, Catherine Darley a indiqué brièvement qu’elle s’est inspiré de la découverte des textes « didactiques » de Clairaut, notamment les Eléments de Géométrie (1741) et les Eléments d’Algèbre (1746). Nous convions les stagiaires intéressés et intéressées à deux séances complémentaires du groupe IREM associé au stage, pour approfondir ce sujet, l’une le 18 avril prochain à partir de 15h pour revoir un texte de Catherine explorant le contexte historique éclairant l’écriture de ces œuvres, l’autre fin mai ou début juin pour une lecture collective d’extraits choisis de ces textes. La première pourra tout particulièrement intéresser les enseignants de lettres ou d’histoire-géographie, la seconde, les enseignants de mathématiques .

On peut venir à l’une ou l’autre des séances, ou aux deux, et participer ne vous engage à rien sur la suite.

Séance du 18 avril: Clairaut en contexte

Cette séance est destinée à préparer une brochure, où seront expliqués différents éléments de contexte historique permettant de mieux comprendre le projet de Clairaut et comment il s’inscrit dans la philosophie des Lumières. Elle aura l’intérêt pour vous de faire découvrir les éléments documentaires et épistémologiques à partir desquels Catherine a pu construire son activité en classe. Pour nous, elle nous aidera à améliorer et enrichir le texte, grâce à la critique collective. La séance peut aussi permettre d’échanger autour d’activités similaires ou inspirées par celle de Catherine.

Séance de fin mai: les éléments de Clairaut, et les mathématiques par problèmes

Concernant la séance de fin mai, il s’agit d’entrer dans le contenu mathématique de ces textes. L’intérêt potentiel pour vous, est de découvrir un texte intéressant et hautement suggestif, susceptible tout particulièrement à déclencher des réflexions concernant l’enseignement par problèmes. Il a déjà inspiré l’enseignement de plus d’un collègue1 à la recherche de problèmes motivants et qui donnent sens aux notions.

L’objectif des animateurs de la séance (Alain Bernard, Katalin Gosztonyi) est d’approfondir les observations faites sur des groupes de lecture et d’échange autour de textes historiques. En quoi la lecture de certains textes permet-elle de lever des implicites, de mettre à jour des questionnements épistémologiques ou pédagogiques, ou d’envisager de nouvelles démarches ? Nous avons précédemment mené des expériences similaires, avec le concours d’une collègue enseignant en collège (notre article; le billet de la collègue).

Si vous êtes potentiellement intéressé.e par l’une au l’autre de ces séances, merci de remplir ce questionnaire en ligne en indiquant bien votre adresse électronique.

  1. voir les articles d’E. Barbin [x] ou J.P. Guichard [x] sur ce sujet, parus dans Repères IREM []

Une séquence en cours d’histoire de 4ème autour du Voyage en Laponie de Clairaut

Relu à partir des remarques des membres du groupe Irem, le 20.12.2018

Le travail que je vais vous présenter est né d’une discussion avec un de mes collègues de mathématiques, grand amateur d’histoire des sciences comme moi, au mois de juin. Nous avions l’idée de partager une ou deux classes de 4ème et de travailler ensemble autour de l’histoire des sciences aux XVIIIe et XIXe siècles, mon programme d’histoire. Nous ne partagerons en fin de compte qu’une seule classe et, comme beaucoup d’idées du mois de juin, celle-ci a un peu vécu : si je voyais sans doute assez bien ce que je voulais faire (et dans « histoire des sciences » il y a « histoire »), ce n’était peut-être pas vraiment le cas de mon collègue.

En fait d’interdisciplinarité, nous serons plutôt dans le soutien logistique tant pour le collègue de maths que pour ceux de physique, en général un peu à l’improviste, en fonction des besoins — mais nous essaierons de bâtir un vrai projet et de faire mieux l’an prochain. Vous ne verrez donc ici que la partie « histoire » d’un parcours qui aurait pu être prolongé différemment (et qui le sera peut-être, qui sait, dans les mois qui viennent). Bien sûr, m’adressant à des élèves de 4ème, mes attentes sont restées modestes mais ce travail peut donner quelques pistes pour un travail au lycée.

  1. Présentation générale de la séquence
  • Niveau 4ème, dans le cadre du chapitre 2 : Le siècle des Lumières.

Il s’agit de la première partie du chapitre : les transformations des sciences (avant les philosophes et leur influence puis la diffusion des idées nouvelles).

Cette séquence était prévue pour durer une heure : il s’agissait de proposer aux élèves de réfléchir — à la hauteur de leurs moyens — sur un problème scientifique du XVIIIe siècle. Ils avaient ± 15 mn, par groupes de 4, pour lire le problème puis imaginer un moyen de résoudre le problème. A partir de leurs réponses, l’idée était de leur faire mener une véritable démarche d’investigation : de discuter entre eux puis ensemble leurs hypothèses puis de les guider vers quelques mesures avant, un, de leur raconter l’expédition en Laponie organisée par l’Académie des sciences en 1735 pour prouver la validité des théories de Newton et, deux, de leur montrer comment ce qui révolutionne les sciences entre la fin du XVIIe et le siècle des Lumières, c’est le passage par l’expérimentation d’une part  et par les maths d’autre part.

2. En quoi la manière dont Clairaut problématise la résolution de problème peut-elle nous intéresser ?

Dans le cadre du groupe Irem, je travaille avec Alain Bernard et Katalin Gosztonyi sur Clairaut et Les éléments de géométrie — non pas certes sur les aspects mathématiques de l’ouvrage mais sur le contexte historique et philosophique dans lequel il fut conçu. Ce n’est pas tant le nom de Clairaut (qui m’était inconnu jusque là) qui m’a attiré lorsque je l’ai entendu à la fin d’une séance de travail, que le fait que tout un site internet lui était consacré, clairaut.com, où Olivier Courcelles avait rassemblé la totalité des archives le concernant. J’avais depuis longtemps envie de travailler sur le  xviiie et, après avoir rapidement exploré les lieux, j’étais lancée (j’aime les archives).

Dans ce contexte historique, un élément essentiel a retenu mon attention, celui d’une société savante, la Société des arts, qui s’est développée au tout début du siècle des Lumières en parallèle à l’Académie des sciences et qui rassembla autant des savants que des artisans particulièrement experts dans leur domaine et qu’on nommait alors des « artistes ». Le projet de cette société soutenue au plus haut niveau de l’État était de réunir des travaux d’origine différente pour forger un savoir commun tant aux scientifiques qu’à ceux qui utiliseraient leurs recherches : construire une histoire de l’expérience technique qui ne soit pas tournée vers le passé mais qui montrerait la puissance dynamique d’une science en prise avec la matière. Il préfigurait clairement L’Encyclopédie non seulement dans son idéologie (recenser toute une série de savoirs tant scientifiques que techniques, entre autres), mais par ses membres mêmes puisque plusieurs d’entre eux en seront plus tard des contributeurs. Et nous pensons que Clairaut, par l’accent qu’il met sur l’esprit d’invention, par l’usage de problèmes construits à partir des questions d’arpentage afin de faire émerger des principes de géométrie, participe du projet de la Société des arts dont les membres considéraient que

La théorie seule n’allait guère plus loin qu’à satisfaire la curiosité, et que la pratique dénuée des lumières de la théorie n’était ordinairement qu’une espèce d’habile routine que le bonheur du succès n’accompagnait pas toujours.

Prendre ce principe de Clairaut — expérimenter, développer l’esprit d’invention — afin de faire réfléchir les élèves, voilà quel était mon point de départ. Je voulais pouvoir leur montrer en conclusion qu’ils avaient réfléchi comme on le fait depuis les Lumières et que la démarche qu’ils avaient suivie — faire des hypothèses, débattre, mesurer, expérimenter donc, décrire un résultat — était caractéristique de l’idéologie de l’époque.

3. Pourquoi ce choix d’insister sur l’histoire des sciences Le fait d’avoir rejoint un groupe Irem il y a deux ans m’a fait prendre la mesure de la place extrêmement réduite de l’histoire des sciences dans l’enseignement de l’histoire (≠ géo), au-delà d’un discours plutôt descriptif (par ex. autour de la révolution industrielle). Ce que je voulais faire avec mes classes de 4ème, c’était leur faire appréhender les enjeux « de l’intérieur », autant que faire se peut : en leur faisant expérimenter quelques problèmes — le tout en collaboration avec mes collègues de maths et de physique.

Cette idée a pris un relief particulier en octobre 2018 quand la réflexion entamée sur le contexte historique de Clairaut a été mise en relation par Alain avec la question de l’esprit critique :

  • comment installer un débat argumenté dans l’enseignement des mathématiques dans le cadre de coopérations interdisciplinaires ?
  • comment comprendre historiquement le lien entre enseignement des mathématiques, et éducation à l’esprit critique ?

Mais alors que je cherchais des documents pour illustrer mon cours, cette question du développement de l’esprit critique m’a rattrapée de manière inattendue : il me fallait une représentation simple de la Terre ellipsoïdale, telle que Newton l’avait décrite, ce qui d’une part s’est révélé plus difficile à trouver que prévu et d’autre part m’a conduite sur divers sites de partisans d’une Terre plate (argumentant sur ces complots multiséculaires qui veulent nous faire croire qu’elle est ronde contre toute évidence). Parallèlement à un discours évidemment absurde, ces sites utilisent une phraséologie et une iconographie qui peuvent avoir une apparence scientifique (chiffres, noms, références de publications, photos provenant d’organismes réputés, etc.) destinée à accorder une aura de véracité au propos.

Très rapidement, la pensée qui m’est venue est que, si par hasard un élève m’assurait que la Terre était plate, je serais bien embarrassée pour lui répondre. En tant que professeur d’histoire, je suis plus souvent amenée à raconter les étapes de la connaissance du monde qu’à en apporter les preuves.

Il y a ici un paradoxe : l’enseignement moderne s’est dégagé de l’emprise du discours religieux depuis les Lumières en accordant la primauté au discours scientifique. Mais comme nous ne saurions, sur chaque sujet, reprendre la totalité des recherches qui, après parfois plusieurs siècles, ont mené à leur découverte, résolution, explication, etc., et ce d’autant plus que l’enseignement des sciences vise à montrer la situation actuelle des sciences, nous considérons qu’un certain nombre de questions sont résolues depuis trop longtemps, un, pour être présentées dans le détail, et deux, pour faire encore débat. Nous pouvons de fait être démunis face à certains élèves qui s’inscriraient dans un type de discours religieux fondamentaliste ou créationniste et être tentés de répondre, à notre tour, par un discours de la conviction (tout le monde sait que la Terre ronde, qu’elle tourne autour du soleil, c’est prouvé, il n’y a rien à discuter). Dans d’autres contextes de cours, en 6ème par exemple, au moment où on étudie la préhistoire, la référence à Adam et Ève ressort régulièrement et j’ai dû élaborer un contrefeu qui me permette de recadrer l’enfant sur la différence entre un discours qui relève du religieux, du mythe, et des connaissances scientifiques, le tout en utilisant des éléments simples qui me permettent de lui montrer ce qu’on entend par évolution — et nous sommes nombreux à avoir travaillé sur ce point. En revanche, je ne suis pas sûre que tous les professeurs d’HG aient les outils nécessaires pour contrer d’autres contre-vérités scientifiques.

Au moment où je réfléchis à l’organisation d’un débat en classe sur la méthode scientifique, ces remarques m’apparaissent assez piquantes… J’ai donc commencé par chercher sur éduscol ce que je pourrais trouver comme réponse à mon problème. Les documents mis en ligne à la suite du séminaire national “Esprit scientifique, esprit critique” qui s’est tenu au lycée Montaigne, à Paris, les 29 et 30 mai 2018[1] sont plutôt éclairants. L’éducation à l’esprit critique, telle qu’elle y a été abordée, ne se présente pas comme une « écoute du doute » ou de la méfiance mais poursuit un objectif pluridisciplinaire d’outillage du raisonnement de l’élève propre à bâtir une confiance raisonnée en la science. Le séminaire recense de très nombreuses ressources comme celles de la fondation La main à la pâte[2] qui offre un projet pédagogique interdisciplinaire intéressant. De réponse rapide sur la forme de la Terre ou ses mouvements, sur elle-même ou autour du soleil, pas de trace en revanche — peut-être que je me fais du mouron pour rien et qu’aucun élève ne m’entreprendra sur ce point.

J’ai néanmoins discuté avec mes collègues de physique et de maths : après tout, ils doivent me servir de personnes ressources pour tout ce qui dépasse le cadre purement historique de mon travail. D’après mon collègue de maths, tous les élèves savent que la somme des angles dans un triangle est égale à 180°. Or la somme des angles des triangles utilisés pour mesurer la terre est en revanche supérieure à 180° ce qui prouve qu’elle est sphérique, me dit-il, et la cartographie est justement l’un des fils conducteurs de mon cours.

En fin de compte, je reviens sur l’idée d’organiser un débat argumenté comme meilleure méthode pour avancer à la fois pour faire de l’histoire des sciences et pour le développement de l’esprit critique. Mon collègue de maths s’engage à reprendre avec eux ce qui pourraient leur poser problème.

4. Comment la séquence s’intègre-t-elle dans ma progression ?

J’avais donc choisi de ponctuer la première partie du programme d’une suite d’évocations de l’histoire des sciences :

  • 2 h début septembre :
  • Histoire : introduction au deux premiers chapitres (Chapitre 1 : le commerce triangulaire et Chapitre 2 : Le siècle des Lumières I – Les transformations des sciences)
  • En ouverture au cours d’histoire, j’ai distribué aux élèves réunis par groupes de 3 ou 4 un ensemble de cartes géographiques du xviiie : cartes des océans, cartes de l’Australie, cartes de l’Amérique de nord, carte des côtes africaines.

https://padlet.com/catherinedarley/exploreroceans

  • Certaines de ces cartes montrent des territoires « en blanc », d’autres sont incomplètes (l’Australie) ou fautives (la Californie comme une île, des îles multiples et imaginaires dans l’océan Indien). Les cartes de côtes africaines sont à l’inverse extrêmement détaillées A partir de là, les élèves complètent un tableau : une colonne « explorateurs », une colonne « exploiteurs », nous notons la taille des navires, les qualités requises pour naviguer selon qu’on est explorateur ou marchand d’esclaves, l’intervention de l’État ou le financement privé des voyages, etc. J’ai ainsi mes bases pour le chapitre 1 sur le commerce triangulaire et le chapitre 2 sur le siècle des Lumières. Chaque groupe reçoit 4 ou 5 cartes sur un ensemble d’une dizaine que je projette au tableau. Je les laisse noter leurs remarques puis nous mettons en commun et nous cherchons des explications : exploration du monde inachevée, difficultés techniques pour tracer les cartes. Nous parlons latitude et longitude, certains savent qu’on utilise une astrolabe ou un sextant pour faire le point, j’explique la difficulté pour la mesure de la longitude qui nécessite un chronomètre fiable.
  • Septembre : Histoire Chapitre 1 : le commerce triangulaire / cours
  • Septembre – octobre : Géographie Chapitre 1 : un monde de migrations / cours
  • Une matinée début octobre, en préparation du chapitre 2 : Le siècle des Lumières – Les transformations des sciences : visite au CNAM

Avant de passer à la suite, j’emmène mes classes au CNAM pour visiter la partie du musée consacrée aux instruments scientifiques anciens. Il s’agit d’une visite libre, le parcours des élèves est guidé par un questionnaire largement inspiré par l’un de ceux proposés par le service éducatif du musée : trois axes (compter, mesurer le temps, expérimenter) pour lesquels les élèves doivent repérer des objets, noter qui les a inventés, comment on les utilise, etc. Ils sont encadrés par le prof d’HG et le prof de maths : on circule, on discute, on pose des questions (c’est assez dynamique…). On s’arrête notamment sur la Pascaline, les cabinets de Nollet, Charles et Lavoisier, et l’horloge décimale.

  • Chapitre 2 : Le siècle des Lumières

I – Les transformations des sciences

II – Les philosophes et leur influence

III – La diffusion des idées nouvelles

  • 2 h avant les vacances de la Toussaint : (Bougainville + Diderot) + 1 h après les vacances (autour de Clairaut et du voyage en Laponie)

Je commence par une heure sur le voyage de Bougainville qui me permettra de reprendre ce que nous avions vu sur les navigateurs explorateurs et la cartographie. Le voyage de Bougainville fera par la suite le lien avec les philosophes et leur influence autour des questions du droit naturel et des lois, du bon sauvage, de la morale. Mais je veux aussi poser que le voyage au XVIIIe est indissociable de l’expérience scientifique. La séquence que je vous présente va donc s’intégrer à la partie du chapitre consacrée aux transformations des sciences.

Je leur soumets alors le problème suivant :

Au début du XVIIIe, l’idée que c’est la Terre qui tourne autour du soleil et non l’inverse est désormais admise. Mais comment peut-elle tenir ? Un Anglais, Isaac Newton a découvert la loi de l’attraction universelle (on dit aussi la gravitation) à la fin du XVIIe siècle mais tous les savants de son temps ne sont pas convaincus. Il faut trouver un moyen de prouver, par exemple en mesurant exactement les dimensions et la forme de la sphère terrestre.

En France, la plupart des savants préfèrent la théorie de Descartes qui prétendait que le mouvement des planètes autour du soleil était dû à des « tourbillons d’une matière occupant les espaces intersidéraux ». Le débat entre partisans de Descartes et de Newton concerne la question de la forme de la Terre : Newton a établi que la Terre, du fait de l’attraction universelle, serait aplatie aux pôles (et ressemblerait à une mandarine), alors que le cartésien Cassini affirme au contraire qu’elle est aplatie au niveau de l’équateur (et pointue aux pôles, comme un citron).

Comment résoudre le problème ?

En guise d’indice, j’ai ajouté sur la page la carte du voyage en Laponie de 1736. Au tableau, je projetterai les formes débattues dont je distribuerai aussi une copie par groupe.

Ce que j’attendais du travail : qu’ils se souviennent de ce qu’ils ont vu sur les mesures prises pour cartographier ; qu’ils suggèrent qu’on pourrait utiliser un sextant (ou instrument voisin) pour mesurer la hauteur d’une étoile / du soleil. Ils sont en groupe pour en discuter et faire des propositions, ils sont censés débattre ensuite, mais cela ne m’interdit pas de circuler, d’écouter et éventuellement de suggérer — de guider. Comme ils ont l’indice de la carte du voyage, j’espère qu’ils penseront que les scientifiques pourraient aller voir sur place, au pôle, à quoi ressemble la Terre.

J’ai vu avec mon collègue de maths ce que je pouvais leur demander : pas une mesure d’arc du méridien mais l’étape préliminaire en rapport avec la hauteur du soleil sur l’horizon. J’ai l’intention de leur suggérer de mesurer avec leur rapporteur l’angle sous lequel on voit le soleil en différents endroits — et cela selon que la Terre est sphérique ou qu’elle est aplatie.

Le premier point que j’attends est qu’ils argumentent leur point de vue, c’est-à-dire qu’ils justifient leur point de vue par l’usage de « preuves » en utilisant soit les éléments fournis soit les connaissances acquises depuis le début de l’année. Ensuite, je voulais leur apporter une certaine compréhension de ce qu’est l’activité scientifique, que les savoirs sont à la fois durables mais provisoires puisqu’on parle de « l’état actuel des connaissances » et que de nouvelles connaissances viennent s’ajouter ou remplacer aux anciennes.

5. Comment la séquence s’est-elle déroulée ? Qu’en retenir ?

J’ai mené cette séquence dans deux classes de 4ème : l’une plus difficile à gérer que l’autre et très hétérogène, dont les bons élèves bien que nombreux ont tendance à se faire discrets ; l’autre classe d’un bon niveau, très dynamique et demandeuse. Dans ma première classe, ça ne rate pas, avant même de commencer, à la faveur d’une anecdote au cours précédent, on m’assène que personne n’a jamais marché sur la Lune (ce à quoi je n’avais pas pensé) et, aussi sec, que la Terre serait plate. Ils se disputent sur ce dernier point sans que j’ai à m’y mettre et la Terre sphérique l’emporte — mais pas la mission Apollo.

J’en parle en salle des profs. Je ne m’attendais pas à autant de réactions parmi mes collègues et cela plusieurs jours de suite : nous sommes un peu démoralisés car certains ont noté d’autres signes dans la même direction. Nous nous sentons mis en question : si les savoirs que nous voulons transmettre sont ainsi balayés par l’action de sites complotistes, si ces savoirs sont relativisés voire récusés parce que associés aux institutions, à l’État, que faire ? quelle peut être notre place, notre rôle dans ce contexte de changement de la relation à la transmission ?

A défaut de réponse à long terme, mes collègues de physique se proposent d’intervenir (l’interdisciplinarité, c’est aussi de la réactivité). Je retrouve les élèves plus tard dans la semaine : on ne me parle plus de marcher sur la Lune, personne ne revient sur la forme de la Terre mais la mise en route est un peu longue (ils sont répartis en groupes de 5). Ce qui leur pose problème est de comprendre ce qu’on attend d’eux : ils pensent que je leur demande de trouver quelle est la vraie forme de la terre parmi les deux que je leur propose. Certains savent qu’elle est aplatie aux pôles : on lève le suspense et je leur confirme que c’est bien la solution du problème. Je reprends : oui, la Terre est bien aplatie aux pôles et les savants de l’Académie des sciences qui ont soulevé la question en étaient convaincus. Mais leur tâche est de savoir comment ils ont pu le prouver.

L’un des groupes (les élèves les plus performants) pose la question de la sorte de preuve attendue : je rappelle (je l’ai déjà dit en présentation) que Newton a démontré mathématiquement son hypothèse mais que les savants cherchent une preuve concrète. Je souligne que la réponse est dans l’un des documents fournis et, immédiatement, ils me parlent de voyage : d’aller voir aux pôles (et à l’équateur).

De manière générale, l’une des pistes que je leur donne est que je leur ai demandé d’apporter (en cours d’HG) un compas et un rapporteur mais la référence au rapporteur ne va faire mouche que dans un seul des groupes (des élèves sérieuses mais fragiles) et elles vont le mettre en rapport directement avec ce que nous avions dit de l’usage du sextant : elles suggèrent de mesurer l’angle que fait le soleil à un endroit donné de la Terre, par exemple au pôle. C’est le seul groupe a réellement pensé aux instruments décrits (et vus au CNAM) utilisés pour prendre des mesures du ciel.

Il s’agit du travail d’élèves fragiles mais qui se rappelaient qu’elles avaient leur rapporteur. On voit d’abord la Terre bien ronde avec un malheureux savant, Clairaut sans doute, observant le ciel avec perplexité depuis le pôle. Sur la seconde figure, elles ont envisagé une version aplatie aux pôles et une autre bombée puis tracé les rayons du soleil. Par contre les angles « mesurés » n’ont pas grand sens…

En fin de compte, trois groupes sur les cinq vont trouver ou approcher de la solution. Un dernier groupe va bloquer sur d’autres points : les savants de l’époque pouvaient-ils résoudre de tels problèmes alors qu’ils n’avaient pas accès à l’électricité ni à internet, qu’ils n’avaient pas wikipédia (savaient-ils que la Terre tournait sur elle-même d’ailleurs?) : il faut donc revenir aux fondamentaux. Nous avons l’électricité et internet et wikipédia parce qu’il y a eu des savants et des inventeurs avant nous – et même des gens pour fonder l’encyclopédie. Les deux derniers groupes enfin ne vont pas réellement travailler.

Les autres questions soulevées sont plus larges, elles concernent le sujet en général mais non le travail à faire : la gravité (la pomme de Newton), l’attraction, la rotation de la Terre, les marées. Elles me permettent néanmoins à la fin du cours d’aborder un indice supplémentaire, celui de l’horloge qui retardait à la Guyane ce qui était une première indication que la pesanteur était moins forte à l’équateur qu’à Paris et donc que le rayon de la Terre y était plus grand.

En fin de compte, après toutes ces discussions, on utilise la figure projetée au tableau avec la sphère terrestre et à l’intérieur l’ellipsoïde. On place un soleil à l’horizontale de l’équateur pour faire simple (équinoxe) et on tire des traits comme des rayons. On mesure un angle à 90° à l’équateur et on le note, on tire un trait vers ± Paris et un autre vers le cercle polaire : si la Terre était vraiment sphérique, le rayon du soleil atteindrait le pôle, si elle était aplatie, le soleil ne serait pas visible, c’est donc cela qu’ils sont allés voir sur place en Laponie.

La trace écrite d’une élève avec son croquis. Il n’y a pas de mesures et les rayons partent assez étrangement du soleil mais on voit qu’ils ne toucheront pas la Terre de la même manière selon qu’elle serait ronde ou aplanie au pôle.

Dans la seconde classe, dès que je prononce le nom de Newton on me renvoie l’attraction universelle (trace de l’intervention du prof de physique, sans doute). À partir des questions qui les tracassent, le cours commence par une présentation / un récit de l’histoire de la connaissance des mouvements de la Terre (Copernic, Galilée) et des réticences et difficultés que rencontrent ces savants : leur intérêt est évident, ils ont des questions à poser ce qui me conduit à raconter avant qu’ils ne commencent l’histoire de l’horloge transportée par l’astronome Jean Richer à la Guyane (1672) et qui retardait, montrant la différence de pesanteur à l’équateur — ce qui rajoute des pistes par rapport au problème que je leur posais. Du coup, quand ils se sont mis au travail, ils sont allés plus vite que dans l’autre classe, ne serait-ce que parce qu’ils avaient compris où se situait la question : en voyant les deux formes de la Terre que je leur avais proposées, chaque groupe a immédiatement reconnu que la figure newtonienne était la bonne. Par contre, trouver une solution au problème n’a pas été plus rapide : l’idée d’aller voir au cercle polaire (donc du voyage en Laponie) n’a été identifiée que par un seul groupe. Un des groupes (que j’aurais pensé plus fragile) a très vite proposé comme solution « générale » de refaire les mesures d’Eratosthène un peu partout sur Terre et, ensuite, a envisagé assez logiquement de voyager vers l’équateur ou les pôles. Le groupe constitué des meilleurs élèves de la classe est paradoxalement celui qui s’est embrouillé parce qu’ils ont cherché une solution « géométrique » en traçant un cercle (la Terre) et en cherchant ce qu’ils pourraient en faire : c’est au moment de la mise en commun qu’en associant les différentes idées ils vont proposer 1) de déformer la Terre (plate ou pointue), et 2) de tirer des lignes à partir d’une étoile (ou soleil) aligné sur l’équateur et de mesurer les angles obtenus (si la Terre était pointue, on verrait cette étoile depuis le pôle, si elle est aplatie on ne la voit pas).

La question enfin la plus intéressante porte sur la nature même d’un méridien : où sont les méridiens ? comment les « trouve-t-on » ? Que signifie « tracer » un méridien dans les forêts de Laponie (et concrètement, comment fait-on ?)

6. Ce qu’il en est resté au moment de l’évaluation…

L’idée qu’à partir du siècle des Lumières l’expérience prime, que des scientifiques sortent de leur cabinet / laboratoire / salon pour voyager : c’est globalement retenu. Les noms, Newton, Descartes, éventuellement Cassini, aussi. Comment chacun d’eux décrit la figure de la Terre est plus confus : Terre aplatie vs Terre pointue ou bombée… mais aussi Terre plate qui réapparaît (mais Clairaut et Maupertuis ont réussi à prouver qu’elle était ronde…).

Dans les deux classes, quelques élèves ont reproduit à main levée le schéma qu’ils avaient dans leur cahier (une Terre ronde et un peu aplatie, le soleil à droite avec ses rayons qui arrivent selon un angle de plus en plus réduit jusqu’au pôle nord).

Plus généralement, les élèves ont apprécié la séquence et m’ont demandé quand on continuerait l’étude de l’histoire des sciences : je ne sais pas ceci dit si c’est l’histoire des sciences elle-même qui les a intéressés (oui, sûrement) ou le fait de travailler ensemble sur une question (incontestablement, ça a joué). Je leur ai évidemment promis la suite avec la Révolution industrielle.

Mes références pour les documents que j’ai distribués aux élèves (et pour m’assurer de maîtriser à peu près le sujet) :

http://planet-terre.ens-lyon.fr/article/Clairaut-Maupertuis-Laponie.xml

http://planet-terre.ens-lyon.fr/article/histoire-forme-Terre.xml

http://planet-terre.ens-lyon.fr/article/Terre-ellipsoide-gravite.xml

Une conférence : http://planet-terre.ens-lyon.fr/article/figure-terre-2006-conf.xml


[1] http://eduscol.education.fr/cid128048/seminaire-esprit-scientifique-esprit-critique-cycles-2-3-et-4.html

[2] http://www.fondation-lamap.org/fr/page/62511/contenus-du-projet

Prochaine réunion ‘mathématiques, histoire, citoyenneté’: lectures de Bertrand, “les lois du hasard” (1884)

Les textes étudiés et discutés

Séance de lecture du 22 novembre 2018 – Centre Koyré, 9h30-13h. Télécharger ici le dossier de lecture pour la séance, et le texte complet de Bertrand si vous voulez aller plus loin.

Les raisons du choix

a) il s’agit de la suite d’une enquête sur l’usage par Borel de « petits problèmes » dans ses articles fondateurs de 1906 et 1908. Voir vidéo d’Alain sur le sujet (lire 6’20’’ à 19’). Les articles en question suivent une sorte de progression ‘pédagogique’, qui appuie le propos, philosophico-politique, sur l’importance des probabilités et statistiques dans le monde moderne, en s’appuyant sur des problèmes qui sont, pour la plupart, tirés du traité de probabilités de J. Bertrand, publié 15 ans plus tôt.

b) le texte de Bertrand, d’après une belle étude de B. Bru (Les leçons de calcul des probabilités de Joseph Bertrand, «Lesloisduhasard», JEHPS 2(2), déc 2006, LIEN) est lui-même un texte composite rédigé en deux parties : la première est une introduction générale, très peu technique et à caractère philosophique sur la notion de « lois du hasard » et sur sa portée ; il s’agit d’un article d’abord publié dans la Revue des Deux mondes, donc pour un public cultivé mais non spécialiste, et qui a servi, avec qq modifications, de préface à son traité de probabilités ; la deuxième partie est le traité à proprement parler et correspond à des leçons, organisées par problèmes, données à l’école polytechnique.

c) le texte critique de Bertrand reprend et critique enfin toute une série de « grands problèmes » déjà traditionnels à son époque ou qui ont donné lieu à des controverses célèbres. Outre le fait que le traité de Bertrand a été très influent sur des mathématiciens comme Poincaré ou Borel, il a donc une (autre) valeur historique intéressante, qui est de récapituler ces « problèmes classiques » et de les problématiser. Quelques exemples : problème du sex ratio ; de l’inoculation de la variole ; de la ruine des joueurs au jeu de St Pétersbourg ou à n’importe quel jeu de hasard (roulette notamment).

Il s’agit donc d’un texte pivot, à la fois récapitulatif de deux siècles de débats philosophique autour de la « valeur de la probabilité », et qui a servi ensuite de référence pour ses épigones, dont Borel, et la manière qu’ils ont eu de penser (ou repenser) ces questions de valeur.

d) enfin les situations, questions, thématiques que discute Bertrand ont gardé pour plusieurs d’entre elles une certaine actualité : questions de citoyenneté (problèmes des décisions de jury), de santé et de protection sociale (faut-il organiser des campagnes de vaccination ?).. Il est intéressant à cet égard de les relire aujourd’hui.

Critères de choix

Nous avons sélectionné des passages suffisamment courts pour être lus en séance, abordant à chaque fois une thématique connue, et dont la lecture est relativement autonomes par rapport au reste du propos (même si chacun reflète le point de vue global de Bertrand).

“lois du hasard” CR réunion du 20 sept

Présents: Alain, Caroline, Emilie, Fabienne, Isabelle, Julien, Katalin (par skype), Sylviane, Siham (étudiante M2 MEEF invitée).

Les deux compte-rendu des précédentes réunions (juin) servent de référence:

Dernières nouvelles du bord

  • Emilie évoque son contact avec Fabrice Cahen, chercheur à l’INED, qui travaille sur un actuaire mathématicien (Jacques Ferdinand Dreyfus), à qui l’on doit en grande partie les lois de 1928/30 de protection sociale, et donc sur l’usage des mathématiques en démocratie pour élaborer et sécuriser un système de protection sociale sous forme de caisses d’assurance notamment. Une présentation de ces travaux (ou un billet) sont envisageables. Il est partant pour venir au lycée Jean Macé pour parler de ses recherches
  • On évoque la présence à Jean Macé de Pierre Pinta, qui début un atelier maths en Jeans avec l’aide d’un doctorant de Paris 7. Des contacts sont possibles via Thomas Richard (UPEC) qui collabore déjà avec Fabienne.
  • Sylviane rappelle les activités des différents groupes IREM, lisibles au travers du site (voir lien vers l’IREM de Paris Nord). Il faut actualiser le site pour qu’y figure les activités du groupe, sous deux sections “histoire des mathématiques” et “mathématiques et citoyenneté”, et donner le lien vers le carnet.
  • La formation continue sur le thème “mathématiques, histoire et citoyenneté” (CIV0301, description) est finalement ouvert avec assez d’inscrits en histoire, mathématiques et chez les CPE. Il faut donc songer à son organisation, avec une première journée d’introduction (nov, déc?) permettant de comprendre les attentes des stagiaires, et deux autres journées au second semestre. L’enjeu du carnet peut alors être vu d’emblée en lien à la préparation du stage. Il faut également songer à des interventions possibles (RV de préparation à prévoir).

La mise en place du carnet

  • Inscription: envoi d’une invitation (création d’un identifiant) permettant d’accéder à la plateforme
  • Création d’un “mode d’emploi” détaillé pour la création d’articles, sachant que le plus simple est de faire ses essais –> voir procédure détaillée à la fin de la page “guide de rédaction des billets”
  • Pour le stockage des fichiers volumineux, un espace sur sharedoc, géré par huma-num, nous est ouvert. Alain s’occupe de vérifier la liste des inscrits et de l’actualiser. Il permet l’archivage pérenne des documents confidentiels et/ou volumineux, notamment pdf volumineux, enregistrements audios et vidéos.
  • A faire: une page pour indiquer les dates des événements, réunions, etc.
  • rappel: réunion du 20 décembre prévue pour faire le point sur la mise en place du carnet, d’ici là il faut publier les premiers billets.
  • Les premiers billets “minimaux” visent à éclaircir les grands principes des projets sur lesquels chacun et chacune est engagé/e.

Le projet sur le vocabulaire des probabilités (Sylviane, Fabienne)

Examen d’un schéma de scénario global et transposable en trois grandes étapes (a) travail autour d’un champ lexical autour des probabilités; (b) réinvestissement dans des activités / problèmes spécifiques; (c) réinvestissement sous différentes formes, dont la lecture de textes historiques choisis. Détails dans un billet à venir.

A préciser dans un futur billet: le timing global (temps long); le rapport à la progression de l’année; les enjeux de chaque partie.

Mathématiques, histoire, citoyenneté

Ce carnet de recherche reflète les travaux de recherche historique et d’innovation pédagogique en lien à deux groupes de recherches (voir plus bas) et à un groupe IREM “histoire et épistémologie” basé sur l’IREM de Paris 13. La thématique essentielle de ces travaux de recherche et d’innovation est indiquée par le titre: elle porte, dans une perspective interdisciplinaire, sur les rapports entre mathématiques, histoire et citoyenneté au fil du temps, et sur les moyens de sensibiliser les élèves et étudiants d’aujourd’hui, à ces questions.

Les rédacteurs du carnet sont membres du groupe IREM “mathématiques, histoire et citoyenneté” et le carnet a pour première fonction de faciliter la communication entre eux et de soutenir les travaux et rencontres des membres.

La seconde vocation du carnet est de rendre accessible à un public large de chercheurs, d’enseignants et de formateurs les produits des recherches et travaux pédagogiques innovants des membres. Les enseignants de mathématiques, d’histoire, de lettres et de lettres classiques, enfin d’Education Morale et Civique (EMC) en collège et lycée ou dans le supérieur, y trouveront des ressources pour alimenter leurs réflexions et travaux.

Les billets sont ainsi rédigés dans l’intention essentielle d’inspirer des travaux similaires à ceux que nous conduisons, en indiquant des lectures utiles et intéressantes sur le plan historique et épistémologique, ou bien en relatant des réflexions pédagogiques nourries des travaux du groupe.

Il est possible à un lecteur du carnet, extérieur au cercle des rédacteurs, de contribuer à la vie du carnet, soit en proposant des commentaires là où ils sont autorisés, soit en proposant de nouveaux billets par l’intermédiaire d’un ou d’une membre du groupe.

Ce projet est soutenu par trois centres de recherche et le labex HASTEC, l’IREM de Paris Nord, l’ESPE de l’académie de Créteil. Les deux projets de recherches associés sont le projet HASTEC “les séries de problèmes, un genre au carrefour des cultures” (carnet) et le projet “les lois du hasard: enjeux mathématiques, historiques, citoyens” soutenu par l’ESPE de l’académie de Créteil.