Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (3) : la formation de Clairaut

Ce billet fait partie d’une série de quatre dont il est le troisième. Il a été relu en séance IREM par Alain, Emmanuelle, Stéphane et Katalin. Voir :

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (1) : rencontre, hypothèses

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (2) : Clairaut en société

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (4) : les lectures de Clairaut

Parmi les livres recensés parmi ses biens à la mort de Jean-Baptiste Clairaut[1] se trouve un petit volume de Sébastien Leclerc, Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain…, publié en 1682. Ce livre se trouve aujourd’hui à la BnF, authentifié par un ex-libris manuscrit[2]. Sur la page de garde, deux annotations de deux mains différentes à propos de deux éclipses solaires visibles à Paris, l’une en 1715 l’autre en 1724. La première pourrait être de Jean-Baptiste Clairaut quand de la seconde rien n’est sûr — on ne possède pas de trace de l’écriture de Clairaut adolescent — mais elle pourrait être celle d’un enfant prodige de 11 ans. Voilà « un document certes anecdotique mais révélateur de l’esprit scientifique qui a alors cours chez les Clairaut, au cours de l’enfance d’Alexis, et concourt à [sa] formation[3] » : il s’agit de l’observation directe d’un phénomène astronomique, la prise de notes, le tout écrit sur un  livre de mathématiques comme objet à la fois précieux et familier — livre somptueusement illustré de figures propres à faire « voir » un concept, une notion, et leur pratique, livre qui présente d’entrée « l’utilité » de la géométrie pour l’astronomie (d’où les annotations ?), la géographie et les travaux des ingénieurs[4]. C’est peut-être en imitation de ce livre « qu’à l’âge de huit ans, il fit pour son propre usage un petit traité de géométrie pratique[5] » : lire, écrire, lire pour écrire, ce sont les bases d’un cursus classique.

1. Une formation intellectuelle à rebours des modes d’éducation contemporains  

Accède-t-on à une formation originale parce qu’on met entre vos mains un livre original ? Ou le plus original n’est-il pas de mettre un tel livre entre les mains d’un enfant ? Ou est-ce le livre qui est original et non le fait, pour un maître de mathématiques, de le posséder et de laisser les enfants le regarder ? Est-ce recevoir une formation originale que d’aller observer les éclipses ?

Dans son Éloge de Clairaut, le secrétaire de l’Académie des sciences, Grandjean de Fouchy, décrit autant les performances d’un enfant précoce que les inventions pédagogiques des adultes qui l’entouraient — sans qu’il soit clairement indiqué s’il s’agissait de son père seul :

On lui enseigna à connaître l’alphabet sur les figures des Éléments d’Euclide ; on se doutait bien qu’il essaierait d’en tracer de pareilles et qu’il en voudrait connaître l’usage ; c’était une espèce de piège qu’on tendait à sa curiosité, il réussit parfaitement ; et à l’aide de quelques petites récompenses accordées à propos, il sut lire et assez bien écrire à l’âge de quatre ans.

Les figures des Éléments d’Euclide n’étaient pas non plus sorties de sa mémoire et il en parlait souvent ; mais avant qu’il pût aller jusque là, il fallut le rendre familier avec le calcul, plus rebutant par lui-même, surtout pour un enfant, que toutes les figures de la géométrie. On imagina pour cela un expédient à peu près semblable à celui qu’on avait déjà employé ; ce fut de lui faire écrire de suite tous les nombres naturels depuis l’unité jusqu’à un très grand nombre, dans des cases toutes préparées, en l’avertissant que toutes les fois que les nombres n’étaient exprimés que par des 9, il fallait dans la case suivante mettre autant de 0 qu’il avait trouvé de 9 et les faire précéder à gauche du chiffre 1. On remplissait aussi d’avance quelques-unes des cases des multiples des nombres premiers ; par ce moyen la curiosité de l’enfant était piquée, et les réponses à ses questions l’instruisirent de la savante théorie de la numération, ignorée même par un grand nombre de ceux qui se servent le plus des nombres. La multiplication et les autres règles de l’arithmétique furent amenées par des moyens semblables, et il se trouva au fait de cette partie des mathématiques, presque sans s’être aperçu qu’il l’eût étudiée, ou du moins l’ayant étudiée sans aucun dégoût. Nous avons cru devoir rapporter avec quelque détail cette partie de son éducation[6].

Puisqu’il s’agit ici de cerner ce qui aura pu dans sa formation première expliquer les particularités de sa démarche didactique, il est possible de mesurer l’importance de cette première éducation dès l’ouverture de la préface aux Éléments de géométrie où Clairaut ironise sur ces manuels qui

débutent toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d’axiomes et de principes préliminaires, qui semblent ne rien promettre que de sec au lecteur.

Le livre est publié en 1741 alors que Clairaut a 28 ans, qu’il est depuis dix ans membre de l’Académie des sciences, qu’il a derrière lui le voyage en Laponie où, avec Maupertuis, il est aller mesurer l’arc du méridien au cercle polaire afin de déterminer la figure de la Terre. L’ouvrage est titré Les Éléments de géométrie — un titre courant à l’époque pour un ouvrage de géométrieet Clairaut y offre un « traité» de mathématiques dont la première partie se présente exclusivement sous la forme de problèmes. On peut pourtant douter que ce faisant, Clairaut ne cherche qu’à composer un traité à visée didactique comme pourrait nous le faire croire la préface, qui désigne les « commençants » parmi les destinataires du texte. Mais Clairaut écrit sans doute bien moins pour ces commençants[7] que pour ses pairs et ce choix d’écrire par problèmes engage tant l’auteur que les futurs lecteurs (qui ne seraient pas forcément des apprenants) dans une dynamique d’expérimentation à la recherche d’une construction active des savoirs, d’une acquisition de cet « esprit d’invention » dont Clairaut est l’un des porteurs.

2. Une formation sous influence de l’enseignement militaire

Nous venons de voir que Clairaut avait bénéficié dans son enfance d’une éducation originale, entre problèmes pratiques, jeu et connaissances académiques. De fait, la plupart des grands mathématiciens de ce siècle ont connu, sous une forme ou une autre, un parcours différent de celui qui était proposé par les cadres institutionnels. Notre vision de l’enseignement au xviiie siècle est largement influencée par l’article Collège de l’Encyclopédie, rédigé par D’Alembert. L’article, qui démolit le système d’enseignement des collèges tenus par des ordres religieux (jésuites, oratoriens…) pour mieux mettre en valeur l’organisation du cursus dans les écoles militaires, oppose ainsi un enseignement «  moderne » qui serait légitime et un « traditionnel » qui ne le serait plus. On pourrait évidemment voir le parcours de Clairaut comme une justification du point de vue de D’Alembert pour qui les grands esprits du temps se seraient formés hors de l’enseignement classique, dans un contexte plus proche de celui des écoles d’ingénieurs. Pour autant, D’Alembert lui-même a été élève au Collège  des Quatre-Nations et, dans ses écrits autobiographiques, a souligné la qualité des enseignants qu’il y a rencontrés[8]. Ainsi, l’opposition sans doute abusive qu’il décrit entre deux types de cursus est à prendre bien évidemment comme une construction rhétorique à visée politique dans le contexte de la réforme des études à la suite de la Guerre de sept ans.

Cependant, l’enseignement que Clairaut reçut chez son père est justement en rapport avec l’activité de celui-ci qui, maître de mathématiques, forme de jeunes officiers. Au-delà des inventions pédagogiques de Jean-Baptiste Clairaut, il y a pour l’enfant la fréquentation quotidienne des cours que donne son père.

À mesure que les talents de M. Clairaut se développaient, une forte inclination pour la guerre se manifestait en lui ; il se plaisait à en entendre parler, il avait souvent ce plaisir avec de jeunes officiers auxquels son père enseignait les mathématiques. Il s’animait à ces discours et cette inclination naissante aurait certainement dérangé ses études, si on ne lui eût fait entendre (ce qui est effectivement vrai jusqu’à un certain point) que l’étude des mathématiques était absolument nécessaire à quiconque aspire à se distinguer dans le service.

Les dispositions marquées du jeune Clairaut pour les mathématiques avaient fait prendre à son père la résolution de l’y pousser le plus avant qu’il serait possible, dans la vue d’en faire un jour un académicien, mais il se gardait bien de le lui dire. L’algèbre et la géométrie, qui faisaient alors sa principale occupation, ne passaient chez lui que pour des préliminaires du service. On employa même ce goût pour l’engager à apprendre le latin ; on laissait exprès à sa portée quelques livres de machines de guerre écrits en cette langue, et l’envie de les entendre le porta bientôt à l’étudier. Le désir d’entrer au service, si souvent dicté aux jeunes gens par l’envie de se débarrasser de leurs études, servit au contraire à M. Clairaut d’un puissant motif de faire les siennes avec plus d’application[9].

Même si nous avons souligné plus haut que l’ouvrage de Clairaut n’était sans doute pas explicitement destiné à un enseignement pratique, il me semble que Clairaut a d’abord pu utiliser sa propre expérience d’apprenant à la fois pour présenter sa démarche et pour construire le texte. Cela commence par ce qui peut apparaître comme des emprunts stylistiques aux géométries pratiques — celles que pouvait utiliser son père avec ses élèves. Mais il ne s’agit pas que de style : la structure même de la Première partie des Éléments, sa logique, présentent une certaine ressemblance avec la structure classique de bien des traités de géométrie pratique. Celles-ci n’ont pas toutes les mêmes ambitions, certaines sont plus démonstratives (par exemple les traités de Errard de Bar le Duc), d’autres plus procédurales (comme celles de Leclerc, nous y reviendrons). Clairaut n’invente donc pas entièrement la manière dont il essaie d’articuler géométrie pratique et savante. En revanche, l’originalité de sa démarche tient sans doute à son emphase sur la possibilité d’introduire à la géométrie savante par la pratique[10] — et non pas seulement d’ouvrir, d’élargir un traité fondamentalement pratique à la géométrie savante.

Mais Clairaut a bénéficié d’un second lieu de formation, au-delà du cadre familial, et qui est bien entendu la Société des arts. Dans cette Société qu’il fréquente à l’adolescence, il trouve sans doute un espace de débats et d’échanges exceptionnel qui le mènera à ce qui a dû être le troisième espace de construction de son savoir, c’set-à-dire le voyage en Laponie avec Maupertuis en 1736-37. De ce voyage, il ne sera pas question ici même s’il précède la rédaction des Éléments de géométrie  de quelques années : il est à l’origine d’autres travaux et ouvrages. Mais la conception même d’un texte didactique destiné à permettre, soit à de réels commençants n’ayant jamais abordé la géométrie, soit à des apprenants qui passés autrefois par un enseignement classique n’en ont gardé qu’un souvenir qui n’a rien « que de sec » de trouver une application à leur savoir, s’inscrit à mon sens dans le programme que s’était donné la Société des arts :

Pour se mettre en état de perfectionner les méthodes déjà suivies dans la pratique des arts, la Société examinera ces méthodes, en observera les avantages et les défauts et emploiera toutes sa capacité à inventer de nouveaux moyens pour les rendre en même temps plus sûrs et plus exacts et d’un usage plus facile[11].

Nous verrons ainsi dans notre troisième partie que si la Préface des Éléments de géométrie engage son auteur dans une démarche d’émancipation de ceux qui veulent accéder au savoir, ce parti-pris philosophique s’inscrit dans un mouvement plus large de divulgation du savoir mathématique comme moteur de la formation des hommes des Lumières.

3. Un parcours qui se démarque du cursus académique

Nous avons évoqué la formation des ingénieurs ou des militaires. Il existait en effet sous l’Ancien Régime plusieurs formes d’enseignement : tous les enfants qui poursuivaient une scolarité ne le faisaient pas dans le cadre d’un enseignement académique menant à l’université mais beaucoup rejoignaient des écoles militaires ou d’ingénieurs — les deux étant intimement liées. On y enseignait les mathématiques appliquées (astronomie, optique, perspective, musique, topographie, mécanique et hydraulique, etc.) dans le cadre d’une pédagogie souvent innovante prenant en compte les développements contemporains de la physique et des mathématiques, à la suite de la diffusion des écrits de Newton[12]. L’enseignement pratique lié notamment aux métiers de la guerre ou à la navigation ou aux métiers d’ingénieurs (les fortifications, la balistique, la construction de navires) était justement celui proposé par le père de Clairaut à de jeunes officiers — c’est cet enseignement qui servira de cadre intellectuel au jeune garçon[13].

Il existait d’autre part le cursus académique, fixé depuis des siècles par l’Université et poursuivi dans les collèges[14] — parcours que Clairaut n’a pas suivi. Dans le cadre de ce cursus, les mathématiques ne figuraient au programme que sur les deux années de classe de philosophie (l’année de physique puis celle de logique), à la fin des années de collège donc, juste avant l’entrée à l’université. Elles étaient associées à la physique en parallèle à l’étude de la philosophie d’Aristote puisqu’elles constituaient l’un des sept arts libéraux du cursus classique qui en était le reflet[15]. Les programmes à ce stade étant d’une difficulté évidente (l’étude d’Euclide y tenait une place centrale) et les mathématiques n’apparaissant pas dans ce qui était étudié les années précédentes, on peut se demander comment les élèves pouvaient affronter cet enseignement — quelles bases avaient-ils pour suivre ce cours ?

Il faut remarquer en préliminaire que pour nombre d’entre eux, ceux qui se destinaient à l’université ou au clergé, voire à la médecine, les mathématiques devaient apparaître comme un pensum à ingérer, d’importance mineure par rapport à celle du latin ou de la philosophie classique. Ce point de vue était partagé par nombre d’universitaires et, malgré les incitations des plus hautes autorités chez les jésuites comme chez les oratoriens, les deux grands ordres enseignants d’alors, il était difficile de trouver des professeurs de mathématiques (et lorsqu’on les trouvait, on les gardait ce qui empêchait la circulation des enseignants — ou leur mutation…)[16]. Bien des collèges d’ailleurs n’avaient tout simplement pas de professeurs de mathématiques et cet enseignement pouvait être donné par les professeurs de philosophie[17]. Jusqu’au milieu du xviie siècle, enfin, tous ces cours se déroulaient en latin. Mais nous avons vu que D’Alembert, dans ses écrits autobiographiques, tout en critiquant la place marginale que tiennent les mathématiques dans le cursus académique, souligne le rôle essentiel de certains enseignants pour la diffusion du savoir : il existe non seulement de bons professeurs mais des professeurs originaux dont les talents pédagogiques aident à développer le potentiel des élèves. Nous retrouvons ici la contradiction entre la supposée rigidité du système, que dénonce D’Alembert dans son article pour l’Encyclopédie, et les ouvertures qu’il propose[18].

Il nous semble pourtant difficile d’imaginer aujourd’hui que les élèves de ces classes aient pu se consacrer à cet enseignement sans en avoir les bases[19]. Le seul enseignement des mathématiques qu’ils aient reçu jusque là tenait à ce qui était enseigné en parallèle des humanités, dans les « chambres d’abécédaires » — il s’agit d’un enseignement élémentaire — où les bases de la numération et du calcul étaient expliqués par les régents d’étude. Mais notre conception de l’enseignement comme un tout organisé sur des années, avec une progression logique en rapport avec la maturation de l’enfant, n’a pas grand chose à voir avec l’enseignement tel qu’il était mené aux xviie ou xviiie siècle. Le découpage de la scolarité en classe, avec examens de passage, établi par les jésuites dès le xvie siècle, ne correspondait pas forcément à un âge précis. On entrait à l’école à des âges et à des niveaux très variables[20]. Un enfant pouvait enfin être instruit par des maîtres de pensions qui n’étaient pas à proprement parler des écoles élémentaires mais qui préparaient à l’entrée dans les écoles militaires ou les collèges[21]. Sous quelle forme ces cours étaient-ils dispensés ? Quelle était la part de la répétition dans les apprentissages et celle de l’entrainement, de la résolution ? Quelle place le livre y tenait-il, s’il ne s’agissait pas de manuels ? Ce sera l’objet de la dernière partie de ce travail.

Dans les pensions tenues par les jésuites, il faut ajouter aux professeurs les maîtres, et plus modestement encore, les lecteurs, qui pouvaient suivre certains élèves et leur proposer un enseignement en plus des cours. Encore une fois, la forme exacte de cet enseignement nous échappe : livres, cahiers, notes de marge, exercices ? Mais nous savons que certains préfets d’études étaient également des mathématiciens et donnaient des cours à titre privé, en dehors de tout cursus, qu’il s’agisse de cours collectifs ou de cours individuels : on rejoint ici indirectement cette pratique « familiale » de l’enseignement telle que nous l’avons décrite plus haut — celle de l’enfant et de ses précepteurs — ce qui relie paradoxalement Clairaut à la forme la plus académique de formation, celle que recevaient les jeunes bien nés de son temps.


[1] Courcelle,  http://clairaut.com/nSansdatepo1pf.html#Leclerc82

[2] https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b55005648x?rk=64378;0

[3] Rémi Mathis, Un intérêt pour les éclipses chez Alexis Clairaut, encore enfant, et son père Jean-Baptiste, Ad Vivum – L’estampe et le dessin anciens à la BnF, 26 juillet 2017, https://estampe.hypotheses.org/1536

[4] Notons que Sébastien Leclerc avait aussi publié une Géométrie théorique et pratique mise à la portée des ouvriers et des élèves qui veulent s’instruire eux-mêmes et sans maître, ou le Parfait manuel de l’arpenteur.

[5] Éloge de Clairaut dans le Journal encyclopédique, le 15 juin 1765 http://www.clairaut.com/n15juin1765po2pf.html

[6] http://clairaut.com/n13novembre1765po1pf.html

[7] Ce n’est qu’au XIXe siècle que les rééditions des Éléments de géométrie de Clairaut seront présentées explicitement sous la forme d’un manuel. Au XVIIIe siècle, même s’il s’opère une réflexion sur l’idée de manuels à proposer aux maîtres (comme le fait Condorcet), cette réflexion n’ouvre pas immédiatement sur la réalisation pratique de ce type d’ouvrages.

[8] Voir l’article d’Irène Passeron, D’Alembert : construction d’une identité scientifique au XVIIIe siècle. Jahrbuch für Europäische Wissenschaftskultur, 2008, p. 11-34. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00361470v1/document

[9] http://clairaut.com/n13novembre1765po1pf.html

[10] Je synthétise ici la discussion avec Frédéric Métin évoquée par Alain Bernard, https://problemata.hypotheses.org/665. Frédéric Métin propose une comparaison entre l’ouvrage de Clairaut et la logique du traité de géométrie pratique de Samuel Marolois (1572-1627). Il faudrait évidemment  avoir en main le catalogue même de la bibliothèque des Clairaut père et fils.

[11] Idée de l’établissement de la Société Académique des Beaux-arts, du plan sur lequel Elle se propose de travailler et des Règlements qu’elle croit devoir observer pour remplir ses vues (1728).

[12] Voir Julia D., « Une réforme impossible [Le changement de cursus dans la France du 18ème siècle] ». Actes de la Recherche en Sciences sociales. Vol. 47‑48, Juin 1983 : Éducation et philosophie, p 53 ; ou Ehrard J., L’enseignement des mathématiques dans les collèges oratoriens au XVIIIe siècle, in Le collège de Riom et l’enseignement oratorien en France au XVIIIe siècle, Paris, CNRS-éditions, et Oxford, Voltaire Foundation, 1993, p 2. Citons en particulier l’abbaye de Sorèze devenue collège au XVIIe siècle puis école royale militaire (1776 – 1793) ou l’école royale du génie de Mézières fondée en 1748.

[13] Voir Liliane Alfonsi, Etienne Bézout (1730-1783) : mathématicien des Lumières. Paris : L’Harmattan, 2011.

[14] Sans grand rapport avec les collèges actuels, ces collèges avaient été créés au Moyen âge pour préparer à l’entrée dans les universités. Dégagés par la suite de cette fonction, ils apportaient un enseignement de base organisé sur quatre à huit ans (petits collèges ou collèges de plein exercice) et suivant un ordre d’études, le Ratio Studiorum. Ce dernier comprenait quatre classes de grammaire, une classe d’humanité et une classe de rhétorique, auxquelles s’ajoutaient deux classes de philosophie. Par ailleurs, nombre d’enfants, notamment dans les milieux d’artisans, suivaient un cours pratique dans de petites écoles qui offraient, aux côtés d’un enseignement professionnel, des cours de mathématiques appliquées au commerce.

[15] Ehrard, 2.

[16] Dainville F., L’enseignement des mathématiques dans les collèges jésuites de France du XVIe au XVIIIe siècle. Revue d’histoire des sciences et de leurs applications, tome 7, n°1, 1954, p 16.

[17] Tout au long du XVIIe siècle, les Pères généraux ont insisté sur la nécessité de commencer jeune l’apprentissage des mathématiques, au vu de la difficulté de la discipline, afin de limiter le risque de dégoût ressenti par les étudiants plus âgés quand ils finissent par s’y affronter (Dainville, 16).

[18] Passeron, p. 17-20. Le professeur si original, le « seul maître » est le professeur de mathématiques élémentaires Caron.

[19] Un seul collège, à Lyon, proposait un enseignement de l’arithmétique et de la géométrie en classe de 2nde puis l’algèbre sur la fin du cursus (Julia, 63).

[20] Il va sans dire que seuls les garçons étaient concernés, les filles n’ayant malencontreusement pas le niveau requis (ce qui va de soi puisqu’elles n’allaient pas à l’école). Le jeune d’Alembert entre ainsi à la pension Bérée à l’âge de 4 ans.

[21] D’Alembert quitte la pension Berée à 12 ans pour entrer au collège des Quatre-Nations.


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