Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (4) : les lectures de Clairaut

Sébastien Le Clerc (1637 – 1714), Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain, avec un nouvel ordre et une méthode particulière, quay des Augustins, à l’image Nostre-Dame à Paris, 1682 (BnF). Comme sur chaque double page de ce très bel ouvrage, nous trouvons à gauche la proposition et sa pratique et à droite le tracé géométrique et une illustration. Ici, aux lignes parallèles et au tracé du compas répondent l’alignement des duellistes et le mouvement des fleurets.

Cet article fait partie d’une série de quatre dont il est le dernier. Il a été relu en séance IREM par Alain, Emmanuelle, Stéphane et Katalin comme les précédents :

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (1) : rencontre, hypothèses

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (2) : Clairaut en société

Le contexte historique des Éléments de géométrie de Clairaut (3) : la formation de Clairaut

Nous avons dit que l’ouvrage de Clairaut, Les Éléments de géométrie, n’était sans doute pas à proprement parler un manuel, de même que Clairaut n’était pas un professeur — il n’aura sans doute qu’une seule élève, la marquise du Châtelet à qui il apportera son assistance lorsqu’elle traduira les Principia de Newton. La question s’est posée de savoir où situer les Éléments de Clairaut au regard des traités d’ambition didactique du début du xviiie siècle. Nous savons peu de choses des ouvrages que Clairaut a pu lire, trois ou quatre titres tout au plus, nous ne connaissons pas les livres qui constituaient sa bibliothèque, mais nous pouvons nous en faire une idée à partir des influences que nous pouvons identifier dans Les Éléments de géométrie.

1. Des ouvrages de mathématiques pour Clairaut enfant

Nous connaissons quelques unes de ses lectures d’enfant — de ses lectures mathématiques, s’entend — à commencer par Euclide dans lequel il apprit à lire. Nous avons cité plus haut ce livre de mathématiques sur lequel Clairaut enfant, puis adolescent, aurait noté ses observations sur les deux éclipses de 1715 et 1724. Que les annotations se trouvent sur ce livre en particulier nous a fait penser qu’il s’agissait d’un livre particulièrement aimé, précieusement conservé. La Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain ou Par une méthode nouvelle & singulière l’on peut avec facilité & en peu de temps se perfectionner en cette science de Sébastien Leclerc[1], est abondamment illustré. Il comporte sur chaque double page, à gauche une notion (définitions, axiomes, propositions, méthode), et à droite une figure qui explicite les procédures à suivre, le tout sur 188 pages (donc 94 notions). A chaque figure géométrique, sur la page de droite donc, est associée une illustration figurative sans qu’il y ait de lien explicite entre les deux. Les définitions, axiomes et propositions tiennent tous sur une page (celle de gauche) : on peut donc imaginer que la « méthode particulière » annoncée par le titre de l’ouvrage soit d’ordre mnémotechnique par l’association de chaque proposition avec sa figure géométrique puis avec ce qui relève d’un jeu intellectuel — association d’une forme à une référence littéraire, un monument historique, un élément de décor classique, une scène de théâtre (les lignes courbes et les rondeurs du bambin qui fait des bulles de savon ou la courbe de la route qui mène à un château, le segment à tracer au-dessus des paysans partant pour le marché, le triangle et la religieuse sous son voile, les duellistes brandissant leur fleuret sous les arcs tracés au compas, sans parler de beaucoup de ruines antiques, de gentilshommes, brigands, reîtres et capucins…).

Le second livre cité par les biographes de Clairaut est celui de M. Guisnée dont la première édition date de 1705 et que Clairaut enfant aurait maîtrisé après trois lectures. Il se place directement à un niveau déjà avancé puisqu’il s’agit d’une Application de l’algèbre à la géométrie ou méthode de démontrer par l’algèbre les théorèmes de géométrie & d’en résoudre les problèmes. Sous ce titre est précisé « L’on y a joint une Introduction qui contient les Règles du Calcul algébrique » qui suppose que ses lecteurs pourraient avoir besoin d’une formation accélérée : il ne s’agit donc pas d’un ouvrage pour étudiants en année de philosophie, même si comme l’écrit Jean Baron dans son éloge de Clairaut de 1768[2], « à 9 ans l’Application de l’algèbre à la geométrie lui étoit familière ». Guisnée restera l’une des références de Clairaut au moment du voyage en Laponie[3] et peut-être encore à l’époque où il compose Les Éléments de géométrie. De même, « à 11 ans il entendoit les Sections coniques [Guillaume-François-Antoine de l’ Hospital, Traité analytique des sections coniques et de leur usage pour la résolution des équations, Paris, 1707] et l’Analyse des infiniment petits [l’Hospital, Analyse des infiniments petits, pour l’intelligence des lignes courbes, Paris, 1715] du M. de l’Hopital, avec lequel il eut plus d’un trait de ressemblance », écrit encore Jean Baron[4]. Mais au-delà des livres dont nous avons le titre, nous pouvons supposer d’autres qui ont pu figurer parmi ses lectures sans laisser pour autant de trace dans ses archives.

Une page ouverte de l’Application de l’algèbre à la géométrie de Guisnée, un ouvrage publié en 1705 (lu et maîtrisé par Clairaut enfant). Cet exemplaire porte dans ses marges de nombreuses annotations manuscrites, traces de la manière dont pouvait étudier un élève officier vers 1760 (date de l’ex-libris).

2. Divers traités destinés à l’enseignement

Nous avons vu dans notre seconde partie (p 11) qu’à l’époque de la formation de Clairaut, dans les collèges, la présentation du savoir mathématique obéissait moins à un impératif pédagogique qu’elle ne se conformait à la tradition académique telle qu’elle s’était progressivement établie[5]. Même si Clairaut n’a pas fréquenté de collège, il a pu lire quelques uns des traités utilisés dans différents collèges à Paris ou en province au début du xviiie.

A parcourir ces traités publiés entre 1680 à 1750 approximativement, à lire leurs préfaces et déclarations d’intention, il apparaît qu’il s’agit bien souvent, pour reprendre les mots mêmes de Clairaut, d’un enseignement qui « [débutait] toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d’axiomes et de principes préliminaires, [et] qui [semblait] ne rien promettre que de sec au lecteur »[6] dont il exige beaucoup. De ce fait, ils étaient sans doute davantage composés pour les maîtres que pour les étudiants, comme une base pour l’enseignement. Ils impliquaient que le lecteur qui achève ses années de collège soit accompagné dans sa lecture (à moins qu’il ne se contente de répéter et reproduire sans forcément acquérir plus qu’un vernis de connaissances). Au livre, l’étudiant pouvait associer l’aide d’un lecteur ou d’un préfet d’études pour venir à bout de ce qu’il voudrait pouvoir maîtriser.

Notons tout d’abord que les manuels proposés aux élèves étaient encore composés en latin au début du xviie siècle : le manuel de Pierre Hérigone, publié en 1632, a l’originalité d’offrir une édition bilingue comme le montre indirectement son titre, Cours de mathématique démonstré d’une nouvelle, briefve et claire méthode par notes réelles & universelles qui peuvent être entenduës sans l’usage d’aucune langue — ce qui sous-entend que le livre est adapté à ceux qui ne lisent pas le latin :tout le texte est présenté en deux colonnes, le latin à gauche, le français à droite, les figures étant centrées sur la page, et un lexique latin-français suivant l’introduction. A la fin du xviie siècle, le latin est abandonné pour le français, comme dans le traité du père Lamy (1640-1715), oratorien du collège d’Angers qui avait été celui de Malebranche : les Éléments des mathématiques ou Traité de la grandeur en général, dont la première édition date de 1680, sera largement utilisé en France jusque dans les années 1720. C’est encore le manuel qu’utilisera Rousseau vingt ans plus tard avec celui du père Reynaud (1656-1728), oratorien du collège d’Angers lui aussi, associé libre de l’Académie des sciences , L’Analyse démontrée ou la Méthode de résoudre les problèmes de mathématiques et d’apprendre facilement ces sciences[7]. Ces différents ouvrages des pères Lamy ou Reynaud comportent en première partie une succession de règles, en arithmétique et en géométrie puis en algèbre — avant de présenter une introduction à l’analyse cartésienne, affirmant le primat de l’algèbre et insistant sur la méthode[8]. Cependant ces livres ne sont ni l’un ni l’autre destinés à des débutants, et ce sont plus des traités que des textes à ambition didactique d’autre part.

Publié en 1704, Les Éléments de mathématiques de Pierre Polinière, médecin, physicien et futur membre de la Société des arts, l’un des premiers à diffuser en France les idées de Newton, se présente justement comme destiné, non aux seuls étudiants, mais à un public plus large, sans doute en partie celui du cours qu’il a ouvert à Paris peut-être en 1695 (ou en 1703). Il a la particularité de donner des conseils de méthode à ses lecteurs : ne pas lire « sans avoir la plume à la main & du papier » afin de s’exercer d’abord sur les exemples qu’il propose et ensuite, d’en inventer de semblables. Voici la notion d’invention qui apparaît.

Dans une perspective différente, avec le contemporain immédiat enfin de Clairaut, Dominique-François Rivard, qui fut le professeur et l’ami de Diderot, on se rapproche d’une réflexion sur ce que pourrait être une « éducation nationale », sujet qui naîtra dans les années 1750-60 dans le milieu des encyclopédistes. Le livre que Rivard publie en 1732, dix ans avant l’ouvrage de Clairaut, Éléments de géométrie avec un abrégé d’arithmétique et d’algèbre, est explicitement présenté comme ce que nous appellerions un manuel de cours, c’est-à-dire pour suivre plus facilement le cours de mathématiques dans les classes — plutôt que sur des cahiers « écrits peu correctement sur des matières embarrassantes » — et rendre ainsi « service » aux étudiants[9]. L’idée d’invention n’apparaît pas, l’objectif serait plutôt de permettre aux élèves des classes de philosophie d’accéder à une meilleure compréhension de la physique,  sachant que le temps à consacrer aux mathématiques tien en trois ou quatre mois sur l’année. Le terme d’abrégé qui figure dans le titre renvoie à l’idée d’une présentation synthétique des éléments, propre à faciliter l’apprentissage et à permettre la vulgarisation des connaissances[10], « le tout proportionné au besoin des étudiants de philosophie[11] », des « protomanuels » en quelque sorte à une époque où n’existe pas encore ce qui conditionne l’existence d’un type d’ouvrage qu’on puisse qualifier de manuel, à savoir « des classes recevant un enseignement commun (l’enseignement dit simultané), une structuration des contenus en disciplines autonomes, la possession par l’élève d’un livre »[12].

Cet ouvrage de Rivard, dont la visée est explicitement didactique, Clairaut ne le cite pas parmi les livres qu’il conseille à Bossut en 1751 alors que ce dernier se préparait à enseigner. Il revient en revanche sur Guisnée ou Reynaud et en ajoute quelques autres qui peuvent donc nous donner une idée à la fois de ses lectures et de la manière dont il perçoit leur usage (je souligne) :

Quant aux livres que vous avés à lire maintenant ils sont en petit nombre et pour la plupart mal faits. C’est un grand malheur pour la geometrie que les principes en soient si mal expliqués. Aux livres dont vous me parlés je joindrois l’application de l’algebre à la geometrie de Guisnée, les sections coniques du marquis de l’Hopital, l’analyse demontrée du P. Reynaud. Wolfius le premier est fort clair mais j’ai peur qu’il ne soit trop elementaire pour vous. Le 2[n]d est trop long et vous fatigueroit à lire d’un bout à l’autre vous pouvés vous contenter de quelques parties comme le 7e livre (La preparation qu’il donne à la geometrie de l’infini en expliquant la methode de Baron est fort claire et fort bonne si je m’en souviens bien c’est dans le 6eme livre). Le 10eme pour la construction des egalités, ou vous trouverés beaucoup mieux que dans l’abbé Deidier ce que vous cherchés sur la solution des equations qui passent le 4eme degré. Mais il faut pourtant vous avertir que vous ne serés jamais bien satisfait sur cette matiere qui est restée fort imparfaite. Quant à la theorie generale des équations que vous me paroissés aimer [pareillement] et quant à la theorie des courbes qui y est necessairement liée [je] crois que vous ne pouvés pas mieux faire que de lire un ouvrage fort nouveau de M[onsieu]r Cramer de Geneve, et que vous aurés sans doute beaucoup plus facilement chés vous que partout ailleurs à cause du voisinage. Voila Monsieur tout ce que je sais pour le present de plus propre à vous servir dans la carriere que vous entreprenés[13].

Rappelons cependant que nous avons suggéré plus haut que Les Éléments de géométrie de Clairaut étaient à mettre en relation par bien des aspects avec les ouvrages de géométrie pratique et les méthodes utilisés pour la formation des ingénieurs ou des militaires depuis le xvie siècle [14] : par le lexique employé (les opérations parfois nommées « manières » comme dans les manuels de fortification), le langage procédural qui use du vocabulaire des opérations, par l’usage même des problèmes, ou par la place de certaines gravures dans les planches en fin d’ouvrage, « qui empruntent leur codification graphique à celle des cartes de l’époque »[15]. Ces géométries figurent régulièrement dans ses lectures de rapporteur à l’Académie des sciences : celle de Charles-Étienne-Louis Camus, Cours de mathématique. Seconde partie. Elémens de géométrie théorique et pratique, et Troisième partie. Élémens de méchanique statique, publiés à Paris entre 1749 et 1752 par exemple. En revanche, aucun titre précis n’émerge a priori de sa période de formation.


[1] Sur Gallica, le site de la BnF, le livre de Sébastien Leclerc dont la première édition remonte à 1668 est présenté sous le titre de Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain avec un nouvel ordre et une méthode particulière mais ce n’est pas hélas celui qui figure en page de titre et ni là ni dans les pages d’introduction l’auteur ne revient sur le « nouvel ordre ». Il n’explicite pas plus ce que serait cette « méthode particulière ».

[2] http://www.clairaut.com/n1768po3pf.html

[3] Ainsi, la marquise du Chatelet écrit à Maupertuis en 1734, « Vous serez peut-être étonné que ce ne soit pas à M. Guisnée à qui je donne la préférence mais il me semble qu’il faut ou vous ou M. Clérau pour trouver des grâces à ce dernier », ce qui apparaît comme un compliment indirect pour Guisnée. L’ouvrage de Guisnée fait l’objet de l’un des tous premiers textes de D’Alembert, Remarques et éclaircissements sur différens endroits de l’application de l’algèbre à la géométrie de M[onsieu]r Guisnée, dont on trouve un manuscrit de 72 pages à la Bibliothèque de l’Institut (Ms 2033) sur lequel est indiqué en marge « fini le 23 novembre 1736 » (http://www.clairaut.com/n29juillet1739po1pf.html#Hankins70) tandis que l’un des premiers textes de Clairaut porte sur l’ouvrage de Reynaud (« Remarque sur l’Article § 52 de l’Analyse démontrée de Reynaud par Monsieur Alexis Clairaut », Journal de Trévoux, novembre 1728, pp. 2164-2166).

[4] http://www.clairaut.com/n1768po3pf.html

[5] C’est ce que décrit D’Alembert dans ses écrits autobiographiques (voir Passeron, D’Alembert : construction d’une identité scientifique au XVIIIe siècle. Jahrbuch für Europäische Wissenschaftskultur, 2008, p 18).

[6] Clairaut, ouverture de la préface aux Éléments de géométrie.

[7] J.-J. Rousseau, Les confessions, éd. GF Flammarion, I, p 271 puis 277. « Je préférai la géométrie du père Lamy qui dès lors devint un de mes auteurs favoris, et dont je relis encore avec plaisir les ouvrages. L’algèbre suivait, et c’est toujours le père Lamy que je pris pour guide ; quand je fus plus avancé, je pris la science du calcul du père Reynaud, puis son Analyse démontrée que je n’ai fait qu’effleurer. » 

[8] L’étude de la géométrie forme l’esprit « en cherchant avec méthode quelque nouveau théorème », écrit le père Lamy dans ses Éléments de géométrie ou la mesure du corps, V, 256 (je souligne). Tout le livre VII des Éléments des mathématiques ou Traité de la grandeur en général de Lamy, traite de la « méthode de résoudre une question ou problème » par la synthèse et l’analyse.

[9] Le témoignage d’une lectrice de Rivard puis de Clairaut, Madame Roland, nous montre la manière dont elle s’approprie ce qu’elle étudie : « Guéring […] venant un jour pour entretenir mon père, me trouva tellement collée sur l’in-4° de Rivard que je ne m’étais pas aperçue de son arrivée. Il entra en conversation avec moi, et m’observa que les éléments de Clairaut me conviendraient beaucoup mieux pour les notions que je désirais prendre ; le lendemain il m’apporta l’exemplaire qui était en son pouvoir. Je trouvais véritablement une réduction simple des premiers principes et, combinant à la fois que cet ouvrage m’était utile et qu’il ne convenait point d’en priver le propriétaire aussi longtemps que j’aimerais à le conserver, je pris tout uniment le parti de le copier d’un bout à l’autre, y compris ses six planches. » (in Mémoires de Madame Roland, Le Mercure de France, Paris, 1986, p 400 — la scène se passe vers 1776).

[10] Choppin, A. « Le manuel scolaire, une fausse évidence historique ». Histoire de l’éducation. mars 2008. n°117, p.  19.

[11] Préface de Rivard, p 4.  Éléments de géométrie avec un abrégé d’arithmétique et d’algèbre, par M. Rivard, à Paris chez Henry, 1732 (je souligne).

[12] Choppin, 20.

[13] Lettre du 4 février 1751 : http://www.clairaut.com/n4fevrier1751po1pf.html Charles Bossut (1730-1814), protégé de Clairaut comme de D’Alembert ou de Camus, fut nommé professeur de mathématiques à l’École Royale du Génie de Mézières en 1752 (sans doute la « carrière [qu’il entreprend] »). Il publiera un cours de mathématique en 1781.

[14] Dès le XVIe siècle, on publie des textes dont le titre signale qu’il s’agit d’ouvrages didactiques : Les Méthodiques Institutions de la vraye et parfaite arithmétique de Jacques Chauvet (1578) ou La géométrie pratique des lignes, des superficies et des corps, ou Nouvelle méthode de toiser et arpenter de Jean Boulanger (1630), Théorie et pratique des nombres méthodiquement proposées à l’usage des financiers de Jean Savary (1644) qui offre une « bonne, briesve et nouvelle méthode ou d’écrire ou d’enseigner », Catherine Goldstein, in VÉRIN H., DUBOURG GLATIGNY P., Réduire en art, La technologie de la Renaissance aux Lumières, p. 216 (je souligne).

[15] La mise en perspective des Éléments avec des textes contemporains « revient finalement à étudier l’épineuse question du degré d’originalité de Clairaut. Car ses textes d’Eléments sont clairement reconnus à l’époque comme une innovation heureuse […]; mais ils sont aussi en continuité avec différents types de genres littéraires existants. Une solution tentante du problème est d’ailleurs de regarder les textes [de Clairaut] comme une synthèse particulièrement originale et réussie, de ces différents modèles ».  Alain Bernard, https://problemata.hypotheses.org/665


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